und Veranschaulichung

und Veranschaulichung
CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 1 Statik Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik ? Ende

Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 1 Statik Schutzrechte ? Ende

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1 Statik Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und „N“ Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“ Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden: Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation, z. B. über das Menü der rechten Maus-taste, erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: ? Ende

Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. 1 Statik ? Ende

identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> ) Seite 1 STATIK 12 S 12 1.1 Grundlagen 15 S 15 1.1.1 Starrer Körper 15 S 15 1.1.2 Kraft 16 S 16 1.1.3 Wechselwirkungsprinzip 19 1.1.4 Schnittprinzip 20 1.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte 21 1.1.6 Gleichgewicht 21 1.1.7 Äquivalenz von Kräften 23 1.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 24 1.2.1 Resultierende 24 1.2.2 Gleichgewicht von Kräften 31 1.2.3 Lagerungsbedingungen 32 1.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 36 1.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte 36 1.3.2 Moment 38 1.3.3 Versetzungsmoment 40 1.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) 42 1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten 44 1.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe 46 S 46 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 5

? 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49
identisch mit Seite 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49 1.4.2 Lagerung starrer Scheiben 50 1.4.3 Streckenlasten 55 Definition von Streckenlasten 55 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast 57 1.4.4 Beispiele 59 1.5 Scheibenverbindungen 62 1.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit 62 1.5.2 Dreigelenkträger 67 1.5.3 Gerberträger 72 1.5.4 Ebene Fachwerke 75 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken 80 Arten von Fachwerken 81 Berechnungsmethoden für Fachwerke 83 1.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen 88 1.6.1 Definition der Schnittgrößen 88 1.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen 91 1.6.3 Differentielle Beziehungen 95 1.6.4 Anwendungen 98 1.7 Zentrales räumliches Kraftsystem 110 1.7.1 Ermittlung der Resultierenden 111 1.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe 112 S 112 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 6

? 1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem 114 S 114
identisch mit Seite 1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten 117 1.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente 118 1.8.3 Räumlich gestützter Körper 119 1.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken 123 1.9 Schwerpunkt 127 1.9.1 Massenschwerpunkt 127 1.9.2 Volumenschwerpunkt 129 1.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen 129 1.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien 131 1.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde 132 1.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten 133 1.10 Flächenträgheitsmomente 134 Definition der Flächenträgheitsmomente 134 Satz von STEINER 137 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen 140 Hauptträgheitsmomente 141 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen 146 1.11 Haftung und Gleitreibung 148 Haftung (Zustand der Ruhe) 149 Gleitreibung (Zustand der Bewegung) 154 Seilhaftung und Seilreibung 156 Seilhaftung 156 Seilreibung 160 S 160 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 7

2 Festigkeitslehre 161 F 12 (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> ) 2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre 162 F 13 2.1.1 Einleitung 162 F 13 2.1.2 Spannungszustand 168 F 19 2.1.3 Deformationszustand 171 F 22 2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F 25 Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F 26 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F 32 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz 182 F 33 2.2 Zug und Druck 184 F 35 2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen 184 F 35 Berechnung der Spannung 184 F 35 Berechnung der Verformungen 188 F 39 2.2.2 Flächenpressung 198 F 49 2.3 Biegung 203 F 54 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen 203 F 54 2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung 205 F 56 2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung 212 F 63 2.3.4 Schiefe Biegung 229 F 80 2.4 Querkraftschub 234 F 85 2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung 234 F 85 2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung 238 F 89 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 8

2.5 Torsion 242 F 93 (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> ) 2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F 94 Annahmen und Voraussetzungen 243 F 94 Berechnung der Torsionsspannung 244 F 95 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel j) 247 F 98 2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte 254 F 105 2.6 Scherbeanspruchung 258 F 109 2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung 263 F 114 2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F 115 2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände 265 F 116 2.7.3 Spannungshypothesen 275 F 126 2.8 Stabilität 285 F 136 2.8.1 Einführung 285 F 136 2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem 290 F 141 2.8.3 EULER-Fälle 293 F 144 3 Dynamik 302 D 12 3.1 Kinematik des Punktes 304 D 14 3.1.1 Definitionen 304 D 14 3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D 15 3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D 17 3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D 19 3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D 21 3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 9

? 3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers 318 D 28
3.2.1 Grundlagen 318 D 28 3.2.2 Momentanpol 319 D 29 3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern 325 D 35 3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern 330 D 40 3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen 330 D 40 3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern 337 D 47 3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen 349 D 59 3.4 Energiebetrachtungen 356 D 66 3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung 356 D 66 Arbeit 356 D 66 Potentielle Energie 359 D 69 Energieerhaltungssatz 360 D 70 Leistung 368 D 78 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers 371 D 81 3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes 376 D 86 3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art 380 D 90 3.5 Schwingungen 389 D 99 3.5.1 Einführung 389 D 99 3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 394 D 104 3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 407 D 117 3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 417 D 127 3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden 424 D 134 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 10

Einführung 424 D 134 Aufstellen der Bewegungsgleichungen 425 D 135 bis 435 D 145 ? Ende 1 Statik Inhalt Seite: 11

1 Statik Was ist Technische Mechanik?
Die Mechanik ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf Körper. Sie ist ein Teilgebiet der Physik. Die Technische Mechanik wendet physikalische Gesetze auf technische Probleme an und entwickelt dabei grundlegende Methoden und Berechnungswege, um das mechanische Verhalten von realen technischen Systemen untersuchen, beschreiben und beurteilen zu können. Was ist Technische Mechanik? 1 Statik Üblicherweise unterteilt man die Technische Mechanik nach der Beschaffenheit der betrachten Körper in die Mechanik fester, flüssiger und gasförmiger Körper. Das vorliegende Buch behandelt ausschließlich die Technische Mechanik fester Körper (Festkörpermechanik). Dieses Gebiet wird häufig weiter unterteilt in Statik Festigkeitslehre und Dynamik. Diese Unterteilung liegt auch dem vorliegenden Buch zu Grunde. ? Ende

Ziel der Lehrveranstaltung
Das Ziel der Vorlesung besteht darin, Ihnen Grundkenntnisse in der Statik, der Festigkeitslehre und der Dynamik (Kinematik, Kinetik, Schwingungslehre) zu vermitteln und dabei das methodische Vorgehen bei der Lösung einfache technische Aufgabenstellungen anhand der grundlegenden Prinzipien der Technischen Mechanik zu erläutern. Am Ende der Lehrveranstaltung sollen Sie in der Lage sein, einfache technische Problemstellungen aus den oben genannten Gebieten der Mechanik zu erkennen, richtig einzuordnen, daraus mechanische Berechnungsmodelle zu erstellen und diese einer Lösung zuzuführen. Die Statik – genauer die Statik fester Körper – der wir uns im Kapitel 1 Statik zuwenden werden, ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewichtszustand. Die Beanspruchung der betrachteten Körper wird dabei als zeitlich unveränderlich vorausgesetzt. Es ist das Ziel der Statik, Bedingungen (Gleichgewichtsbedingungen) für die angreifenden Kräfte zu formulieren, unter denen ein Körper oder ein Körpersystem in Ruhe bleibt. ? Ende

Wozu brauchen Sie Technische Mechanik?
Ein Versagen technischer Konstruktionen gab es (und wird auch zukünftig nicht ganz vermeidbar sein), seitdem der Mensch begonnen hat seine Umwelt auf der Grundlage des jeweiligen aktuel-len Kenntnisstandes zu verändern. Fehler bzw. nicht bekannte oder berücksichtigte Ein-flüsse können zu großen Katastrophen führen. Ein klassisches Beispiel dafür ist der Einsturz der Takoma Narrows Bridge im Bundesstaat Washington (USA) am , bereits vier Monate nach ihrer Eröffnung. Video Die Ursache des Einsturzes waren plötzliche Torsions-schwingungen, die infolge von Windverwirbelungen im Resonanzbereich angeregt wurden. Erst 1992 führten Computersimulationen zur endgültigen Klärung aller Phänomene dieses Einsturzes. Das sollte vermieden werden! Zur Vermeidung derartiger Katastrophen und Unglücksfälle vermitteln die Technische Mechanik und die angrenzenden Wissensgebiete notwendige Grundlagen für eine zuverlässige Modell-bildung, für die Berechnung und Simulation sowie für experimentelle Untersuchungen. Zur Ansicht des Videos auf das Bild klicken oder Datei takoma-bridge.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf das Video stoppt dieses bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt zu erneut. ? Ende

1.1 Grundlagen 1.1.1 Starrer Körper
Von einem starren Körper sprechen wir dann, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Körper bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der Statik vernachlässigen wir also die Verformung eines Körpers unter der Wirkung von Belastungen. Ein starrer Körper ist die Idealvorstellung eines Körpers, der unter Krafteinwirkung keine Verformung erfährt. Jeder reale Körper unter der Wirkung von äußeren Belastungen, der sich in Ruhe – d. h. im Gleichgewicht – befindet, kann gedanklich in einen starren Körper verwandelt werden (Erstarrungsprinzip). Beachte: Natürlich ist ein realer Körper niemals ein starrer Körper. Das Modell eines starren Körpers ist aber in vielen Fällen eine für technische Bauteile und Konstruktionen zweckmäßige Annahme. Diese Annahme muss aber unbedingt kritisch überprüft werden, um die Gültigkeit der daraus folgenden Berechnungsergebnisse sicherzustellen. ? Ende

1.1.2 Kraft Zentraler Begriff der Statik : Kraft
„Urbild“ der Kraft: Gewichtskraft und Muskelkraft (die Muskelkraft kann erfahrungsgemäß an einem Körper im Schwerefeld der Erde Gleichgewicht herstellen) Definition des Kraftbegriffs Jede physikalische Größe, die sich mit der Gewichtskraft ins Gleichgewicht setzen lässt, ist eine Kraft. Weitere Beispiele für Kräfte: magnetische und elektrische Kräfte, Druckkräfte von Flüssigkeiten und Gasen, Windkräfte, Federkräfte usw. Kräfte sind Vektoren und durch die folgenden Größen bestimmt: Betrag Richtung Richtungssinn und Angriffspunkt ? Ende

Kennzeichnung von Vektoren: Symbol mit einem Vektorpfeil, z. B.
Der Kraftvektor wird üblicherweise mit (von force) gekennzeichnet. Der Betrag des Kraftvektors wird durch dargestellt (eventuell wird F mit einem Index versehen, der den Angriffspunkt und/oder die Richtung kennzeichnet). Zeichnerische Darstellung der Kraft: Vektorlänge e AP WL F Bild 1.1 Darstellung eines Vektors Für die maßstäbliche Darstellung der Kraft benötigt man die Richtung (auch als Wirkungslinie WL bezeichnet), den Angriffspunkt AP, und die Vektorlänge e. Die Pfeilspitze legt den Richtungssinn auf der Wirkungslinie WL fest (Bild 1.1). Um den Betrag von als Vektorlänge e, darstellen zu können, muss man einen Maßstabsfaktor mF festlegen. Es gilt dann: mit F in N und mF in N/mm Einheiten der Kraft (gesetzlich verbindlich) 1 N = kg m s-2 1 kN = 1000 N (alt: 1 kp = 9,81 N) ? Ende

In der Mechanik Unterscheiden wir
Hinweis: Da wir auf grafische Verfahren nicht eingehen werden, müssen unsere Darstellungen der Kraftvektoren nicht maßstäblich sein. Die Darstellung der Kräfte in Skizzen in Form eines Pfeilbildes genügt in der Regel. Das Pfeilbild soll die Lage, die Richtung und den Richtungssinn prinzipiell beschreiben und wird durch die Angabe des Betrages F und des Richtungswinkels a eindeutig ergänzt (Bild 1.2) a F Bild 1.2 Skizze eines Kraftvektors In der Mechanik Unterscheiden wir räumlich verteilte Kräfte (z. B. Gewichtskraft, elektrische und magnetische Kräfte) flächenhaft verteilte Kräfte (z. B. Druckkräfte von Flüssigkeiten und Gasen) Einzelkräfte Eine Einzelkraft ist ein idealisierter Grenzfall. Sie kann z. B. durch eine Seilkraft veranschaulicht werden, bei der der Angriffsbereich eine sehr kleine Querschnittsfläche des Seiles ist. Eine Einzelkraft wird am starren Körper durch einen linienflüchtigen Vektor beschrieben. Daraus folgt der Verschiebungssatz: An einem starren Körper kann eine Einzelkraft beliebig entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. ? Ende

1.1.3 Wechselwirkungsprinzip
Das Wechselwirkungsgesetz geht auf Newton (1687) zurück, der die Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung postulierte. Zu jeder Kraft gehört auf der gleichen Wirkungslinie eine Gegenkraft von gleichem Betrag aber mit entgegengesetztem Richtungssinn. Eine Kraft tritt also niemals allein auf, sondern es gehört zu jeder Kraft eine gleich große Gegenkraft (siehe Bild 1.3) . Körper Erdmittelpunkt M FG Bild 1.3 Wechselwirkungsprinzip Das gilt beispielsweise auch für Kräfte, die an Körpern wirken, die sich nicht berühren (z. B. Gravitationskräfte zwischen Himmelskörpern, magnetische Kräfte). ? Ende

1.1.4 Schnittprinzip Im Bild 1.4 wurde beispielsweise der Körper aus Bild 1.3 von seiner Unterlage befreit und die Wirkung der Unterlage auf den Körper sowie die Wirkung des Körpers auf seine Unterlage durch die Kraft FN ersetzt. (Normalkraft) FG FN Bild 1.4 Schnittprinzip und Gleichgewicht Ein Körper kann mittels eines gedachten Schnittes von seiner Umgebung befreit werden. Die dadurch verlorengegangene gegenseitige Beeinflussung zwischen Körper und Umgebung muss danach durch geeignet gewählte Kräfte ersetzt werden, die den ursprünglichen Ruhezustand (oder Bewegungszustand, siehe Kapitel 3 Dynamik) des Körpers wieder herstellen. Durch dieses grundlegende Prinzip wird es möglich, innere Kräfte eines technischen Systems sichtbar und damit berechenbar zu machen. ? Ende

1.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte
Durch Lagerungen oder Abstützungen kann ein starrer Körper erfahrungsgemäß in seiner Lage fixiert werden – der Körper ist dann an seine Lage gebunden. Kräfte, die bei der Anwendung des Schnittprinzips die Wirkung der Lager oder der Stützen ersetzen, nennt man Reaktionskräfte (oder auch Bindungskräfte). Der Angriffspunkt und die Wirkungslinie einer Reaktionskraft werden durch die von der zugehörigen Bindung verhinderten Bewegung des Körpers bestimmt (vgl. Kapitel 1.4.2). Alle Kräfte, die nicht durch starre Bindungen (Lagerungen, Abstützungen) bedingt sind, heißen eingeprägte Kräfte. 1.1.6 Gleichgewicht Das Gleichgewichtsprinzip der Statik sagt aus, dass ein starrer Körper dann im Gleichgewicht ist, wenn er sich im Zustand der Ruhe (oder der gleichförmigen Bewegung) befindet. ? Ende

1. die gleiche Größe (gleichen Betrag) haben,
Schneiden wir einen Körper aus der Umgebung frei und tragen alle Reaktionskräfte und eingeprägten Kräfte an, so befindet sich der Körper im Gleichgewicht, wenn die Gesamtheit der Kräfte den Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung des Körpers nicht verändert. Der einfachste Fall einer Gleichgewichtsgruppe von Kräften liegt offensichtlich vor, wenn ein Körper unter der Wirkung von nur zwei Kräften steht (vgl. Bild 1.4). Dann herrscht Gleichgewicht, wenn die beiden Kräfte 1. die gleiche Größe (gleichen Betrag) haben, 2. entgegengesetzt zueinander gerichtet sind und 3. auf der gleichen Wirkungslinie liegen. (Normalkraft) FG FN Bild 1.4 Schnittprinzip und Gleichgewicht Diese durch die Erfahrung bestätigte Erkenntnis kann auf die Wirkung von beliebig vielen Kräften verallgemeinert werden (siehe Kapitel 1.2). ? Ende

1.1.7 Äquivalenz von Kräften
Eine Gruppe von Kräften nennt man äquivalent (mechanisch gleichwertig) zu einer zweiten Gruppe von Kräften, wenn beide für sich an demselben starren Körper die gleiche mechanische Wirkung haben. Für einen starren Körper sind unendlich viele Kräftegruppen denkbar, die zu einer gegebenen Kräftegruppe äquivalent sind. So sind beispielweise zwei nach Betrag und Richtungssinn gleiche Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie mit unterschiedlichem Angriffspunkt am starren Körper äquivalent . Aus dem Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzprinzip werden wir in den folgenden Kapiteln mathematische Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzbedingungen ableiten, aus denen wir noch unbekannte Kräfte berechnen können. ? Ende

1.2 Zentrales ebenes Kraftsystem
Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreift, heißt zentrales Kraftsystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. 1.2.1 Resultierende Eine Gruppe von Kräften lässt sich durch eine äquivalente Kraft, die so genannte Resultierende , ersetzen. Die Resultierende ist den Kräften äquivalent. Hinweis: Die Anwendung grafischer Methoden dient nachfolgend vorwiegend zur Veranschaulichung. Die Lösung von Aufgaben erfolgt in der Regel analytisch. Grafische Lösung: Parallelogrammsatz: Zwei Kräfte lassen sich im Kräfteplan grafisch zu einer Resultierenden zusammenfassen, die nach Größe und Richtung durch die Diagonale in einem Parallelogramm bestimmt wird, dessen Seiten von den beiden (maßstäblich gezeichneten) Kräften aufgespannt werden. (vgl. Bild 1.5 a) bis c) auf der folgenden Seite). ? Ende

F1 WL2 WL1 F2 AP2 AP1 WLR FR F1 F2 FR FR F2 F1 ?
a) Lageplan Darstellung von Betrag, Richtung Richtungssinn und Angriffspunkten der Kräfte Bild 1.5 Lageplan, Kräfteplan, Krafteck Nachfolgend wird die Ermittlung der Resultierenden an zwei Kräften (Bild 1.5 a) gezeigt. WLR FR Nach Ermittlung von FR über den Kräfteplan bzw. das Krafteck wird diese auf der resultierenden Wirkungslinie (WLR) in den Lageplan eingezeichnet. b) Kräfteplan (mit Kräfteparallelogramm) Darstellung von Betrag, Richtung und Richtungssinn der Kräfte F1 F2 FR FR c) Krafteck F2 F1 Vereinfachung Hinweis: Das Krafteck (Bild 1.5 c) ist eine Vereinfachung des Kräfteparallelogramms, bei der die Reihenfolge der Kräfte beliebig ist. Beachte: Eine Umkehrung der Aufgabe, d. h. die Zerlegung einer Kraft in beliebig viele Komponenten ist nicht möglich. Eine Kraft kann in der Ebene eindeutig nur in zwei Komponenten zerlegt werden! ? Ende

bzw. mit den Komponenten von Fi nach Bild 1.6
Analytische Lösung: Auf Kräfte können die Regeln der Vektorrechnung angewandt werden. Für die Zusammensetzung von n Kräften zu einer Resultierenden gilt folglich: (1.1) In Komponentenschreibweise bezogen auf ein (x,y)-Koordinatensystem (Bild 1.6) gilt für die Resultierenden in x- und in y-Richtung x y WL Fi ai Bild 1.6 Komponenten einer Kraft (1.2) Fix = Fi cosai Fiy = Fi sinai bzw. mit den Komponenten von Fi nach Bild 1.6 (1.3) Hinweis: Verwendet man die Definition für die Winkel ai nach Bild 1.6, so wird das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten automatisch über die Winkelfunktionen in die Gleichung (1.3) übernommen. ? Ende

Für die Resultierende ergibt sich dann
(1.4) Die Lage der Resultierenden wird durch den Winkel aR bestimmt, der sich aus (1.5) ergibt. Da für aR noch zwei Quadranten möglich sind, bildet man für die Eindeutigkeit des Richtungssinns noch (1.6) ? Ende

Beispiel 1.1 Resultierende zweier Kräfte
Für die im Lageplan des Bildes 1.7 dargestellten zwei Kräfte F1 und F2 soll die Resultierende ermittelt werden. x y a2 = 160 F1 = 200 N a1 = 30 F2 = 400 N Bild 1.7 Resultierende zweier Kräfte FR aR Berechnung des Winkels aR: siehe folgende Seite Berechnung mit den Gleichungen (1.3) bis (1.6): und Der Betrag der Resultierenden ergibt sich aus (1.4) ? Ende

Den Winkel der Resultierenden erhalten wir aus Gleichung (1.5)
Þ zwei Lösungen für aR Für die Eindeutigkeit des Winkels berechnen wir noch (1.6) Þ zwei weitere Lösungen für aR Der gesuchte Winkel aR muss beiden Gleichungen (1.5) und (1.6) erfüllen. Das trifft nur für den Winkel von 130,57 zu. Damit hat die Resultierende den Richtungswinkel Die Resultierende kann jetzt auf einer Wirkungslinie durch den Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien von F1 und F2 mit dem Richtungswinkel aR eingezeichnet werden (siehe Bild 1.7, eine Seite zurück). ? Ende

Weitere Berechnungsmöglichkeit:
x y F1 = 200 N a1 = 30 F2 = 400 N b = 70  Bild 1.8 Komponenten von F1 und F2 Die 2. Berechnungsmöglichkeit beruht darauf, dass zunächst nur die Beträge der Kraftkomponenten – in der Regel aus Winkeln zwischen 0 und p/2 zu einer der Koordinatenachsen – berechnet werden. F2H F1H F1V F2V a1 b Das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten für das Aufschreiben der Gleichung (1.2) muss dann aus der Anschauung genommen werden. Wir erhalten (vgl. Kraftzerlegung in Bild 1.8): Wie man sieht, erhält man die gleichen Komponenten für die Resultierende. Die Rechnung wird dann wie oben fortgesetzt. Bei der Berechnung des Richtungswinkels aR kann man sich auf die Gleichung (1.5) beschränken, wenn der richtige Winkel von den zwei möglichen wiederum aus der Anschauung (Beurteilung der Vorzeichen von FRx und FRy) gewonnen wird. ? Ende

1.2.2 Gleichgewicht von Kräften
Das Kraftgleichgewicht ist die Bedingung für die Ruhe (bzw. für die gleichförmige Bewegung) eines Systems. Satz: Eine zentrale ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist. Analytische Lösung dieser Aufgabe FRx= 0 bzw. FRH= 0 oder symbolisch: (1.7) FRy= 0 bzw. FRV= 0 oder symbolisch: (1.8) : Beachte:  Da das Gleichgewicht in jeder beliebigen Richtung aufgeschrieben werden kann, gibt es unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen.  Da von diesen jedoch nur zwei linear unabhängig sind, können nur zwei Unbekannte berechnet werden.  Weitere Gleichgewichtsbedingungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. ? Ende

1.2.3 Lagerungsbedingungen
(Weitere Lagerungsbedingungen werden im Kapitel behandelt) Seil, Stab und reibungsfreie Auflage sind wichtige technischen Realisierungen der Lagerung eines starren Körpers unter der Wirkung von Zentralkräften. Wenn wir einen starren Körper mit Hilfe des Schnittprinzips von seinen Lagerungen befreien, werden die Lagerkräfte sichtbar. Seile und Stäbe: Seile und Stäbe können nur Kräfte in Längsrichtung aufnehmen. Wir führen einen Schnitt durch das Seil oder den Stab und tragen eine Zugkraft (Zugkräfte sind dann immer positive Kräfte) an dem Schnittufer in Längsrichtung an (siehe Bild 1.9). Bild 1.9 Lagerung durch Seilen und Stäben Seil Stab 1 Stab 2 Seil Stab 1 Stab 2 FS FS1 FS2 Schnittprinzip Beachte:  Ein Seil kann nur Zugkräfte übertragen!  Ein Stab, der beidseitig gelenkig befestigt ist, kann sowohl Zug- als auch Druckkräfte übertragen. FS  0 bedeutet, der Stab wird auf Druck beansprucht. ? Ende

Reibungsfreie (ideal glatte) Berührung zwischen Körper und Unterlage
Typische Beispiele sind die Lagerung einer Kugel in einer starren Rinne (Bild 1.10) bzw. die Lagerung eines starren Körpers auf einer glatten Kante oder Schneide. Durch einen Schnitt wird der Körper von der Unterlage befreit und üblicherweise eine Druckkraft FN normal (senkrecht) zur gemeinsamen Tangentialebene von Körper und Unterlage angetragen. Beachte: Liefert die Berechnung FN  0, bedeutet das ein Abheben von der Unterlage, falls das konstruktiv nicht verhindert wird. Bild Reibungsfreie Berührung zwischen Körper und Unterlage R FG A B Schnittprinzip FB FA R FG B A ? Ende

Beispiel 1.2 Berechnung der Stabkräfte eines Stabzweischlag
Gegeben: F, ,  (siehe Bild 1.11 a ) Gesucht: Stabkräfte FS1, FS2 Bild Berechnung der Stabkräfte eines Stabzweischlag b a F Stab 1 Stab 2 a) b) Schnittskizze F FS2 FS1 b a c) Komponentenzerlegung F FS2cosb FS2sinb FS1sina FS1cosa Freischneiden Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Bild 1.11 c ) -FS1sin + FS2sin + F =0 : (1) Das sind zwei Gleichungen für beiden Unbekannten FS1 und FS2. -FS1cos +FS2cos = 0 : (2) ? Ende

? Aus der Gleichung (2) folgt: (3)
Einsetzen von (3) in die Gleichung (1) liefert: Mit dem Additionstheorem sincos - cossin = sin(-) folgt daraus (4) Hinweis: Wie man aus (4) und (5) ersieht, liegen die Stäbe bei a = b auf einer Geraden, und es ergeben sich rechnerisch unendlich große Stabkräfte. Dieser Widerspruch resultiert aus der Modellannahme eines starren Körpers. Lässt man die Verformbarkeit der Stäbe zu, dann stellt sich im Gleichgewichtszustand ein Winkel von etwas weniger als 180° zwischen den Stäben ein, was zu endlich großen Stabkräften führt, die allerdings sehr groß sein können und zur Zerstörung der Konstruktion führen können. Einsetzen von (4) in die Gleichung (2) liefert: (5) ? Ende

1.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem
Ein allgemeines ebenes Kraftsystem ist eine Gruppe von Kräften mit beliebigen Wirkungslinien (WL), die sich nicht alle in einem Punkt schneiden. Bild Resultierende zweier paralleler Kräfte a) Lageplan F1 F2 1.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte In Bild 1.12 a) sind zwei parallele Kräfte F1 und F2 an einem Körper angetragen. Die grafische Lösungsmöglichkeit mit Hilfe der Ergänzung einer Gleichgewichtsgruppe von zwei Hilfskräften FH wird mit Bild 1.12 gezeigt. F2* b) Kräfteplan F1 F2* FR F2 F1* FR FH FH F1* Hinweis: Die Ergänzung der beiden Hilfskräfte FH kann auf einer beliebigen Wirkungslinien (nicht parallel zu F1 und F2 ) erfolgen. Eine senkrechte Wirkungslinien zu F1 und F2 für FH ist jedoch zu empfehlen. ? Ende

Bild 1.13 Parallele entgegengesetzt gerichtete Kräfte, mit gleichem Betrag (Kräftepaar)
F2=F1 b) Lageplan Wir betrachten jetzt den Fall, dass F2 den gleichen Betrag wie F1 hat, aber auf einer parallelen Wirkungslinie entgegengesetzt zu F1 gerichtet ist (Bild 1.13). Zwei Kräfte mit diesen Eigenschaften bezeichnet man als Kräftepaar. Ein Kräftepaar ist eine Kräftegruppe aus zwei gleichgroßen entgegengesetzt gerichteten Kräften auf parallelen Wirkungslinien. F1* a l F2 F1 b) Kräfteplan F2* l* FH Beachte: FR = 0 (das Krafteck ist geschlossen - aber trotzdem kein Gleichgewicht, vgl. Lageplan) Wegen F1 = F2 folgt F1*= F2* und mit l*= l sin und F1= F1* sin ergibt sich F1 l = F1* l*. Es ergeben sich zwei neue entgegengesetzt gleiche Kräfte F* auf parallelen Wirkungslinien mit dem gleichen Produkt von KraftAbstand wie das der Ausgangskräfte mit dem Abstand l. Dieses Produkt bezeichnen wir als Moment. ? Ende

1.3.2 Moment Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden! Ein Kräftepaar liefert ein Moment! Als Maß für die Wirkung eines Kräftepaares (siehe Bild 1.14) dient sein Moment M = Fl mit der Einheit: N m (N cm, kN m) (1.9) Bild Kräftepaar und Moment mit symbolischer Darstellung Kräftepaar in x-y-Ebene (Zeichenebene) F . l x y z Drehachse z M symbolisch: Kräftepaar liegt allgemein im Raum (in der gelben Fläche) l F . x y z M Drehachse symbolisch: Die Wirkung eines Momentes auf einen starren Körper besteht in dem Bestreben, ihn um eine Achse senkrecht zu der vom Kräftepaar gebildeten Ebene zu drehen (z. B. Lenkrad, Schraubendreher). Daraus folgt auch die symbolische Darstellung durch einen den Drehsinn symbolisierenden gekrümmten Pfeil bzw. durch einen Doppelpfeil (siehe Bild 1.14). ? Ende

Satz: Das Moment ist am starren Körper ein freier Vektor.
Das Moment M ist wie die Kraft F ein Vektor, was symbolisch durch ausgedrückt wird. Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der von dem Kräftepaar aufge-spannten Ebene (vgl. Bild 1.14, eine Seite zurück). Bild Rechte Hand-Regel Zur Kennzeichnung des Drehsinns ist bei ebenen Problemen der gekrümmte Pfeil ausreichend. Für allgemeine Lagen des Momentenvektors wird zweckmäßig die Darstellung als Doppelpfeil gewählt, wobei für die Zuordnung der Doppelpfeilrichtung, die den Drehsinn um die Drehachse festlegt, die rechte Hand-Regel (Rechtsschraube) benutzt wird (vgl. Bild 1.15). Satz: Das Moment ist am starren Körper ein freier Vektor. Der Momentenvektor kann also am starren Körper, im Unterschied zum Kraftvektor, auch senkrecht zu seiner Wirkungslinie verschoben werden ohne dass sich seine Wirkung auf den starren Körper verändert! ? Ende

Was passiert, wenn wir eine Kraft F am starren Körper auf eine parallele Wirkungslinie „versetzen“ (z. B. von WL1 auf WL2, vgl. Bild 1.16)? 1.3.3 Versetzungsmoment WL1 WL2 F l Bild Versetzungsmoment beim parallelen Versetzen einer Kraft WL1 WL2 F l Lösung: Wir tragen auf der Wirkungslinie WL2 zwei gleich große, sich gegenseitig aufhebende Kräfte F an. WL1 WL2 F l M = Fl Kräftepaar Dabei ergibt sich ein Kräftepaar mit dem Abstand l, das durch ein Momente M = Fl - das so genannte Versetzungsmoment – ersetzt werden kann. Wenn wir eine Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie verschieben, müssen wir das Versetzungsmoment berücksichtigen. ? Ende

Das statische Moment Als statische Moment einer Kraft F bezüglich eines beliebigen Punktes A bezeichnen wir das Versetzungsmoment MA, das beim Versetzen der Kraft F auf eine parallele, durch A verlaufende Wirkungslinie entsteht (siehe Bild 1.17). Bild Statisches Moment einer Kraft bezüglich A WL F A l . MA = Fl ? Ende

1.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)
Zur Ermittlung der resultierenden Wirkung einer beliebigen Zahl von Kräften am starren Körper bezüglich eines Punktes A versetzen wir alle Kräfte durch Parallel-verschiebung in den Punkt A und ermitteln das resultierende Versetzungsmoment. Die Kräfte können, wie beim zentralen Kraftsystem, zu einer Resultierenden FR zusammengefasst werden (siehe Gleichungen (1.3) und (1.4)). Für das resultierende Moment einer allgemeinen Kraft ergibt sich (vergleiche Bild 1.18): A y x xi yi Fi Fix Fiy MiA= Fiy xi - Fix yi Bild Bildung des resultierenden Momentes (1.10) ? Ende

Beispiel 1.3 Ermittlung der Resultierenden eines ebenen Kraftsystems
Drei Kräfte greifen an einem starren Körper an (Bild 1.19). Wir suchen die Resultierende FR und deren Lage, die durch einen Abstand x auf der Horizontalen durch A festgelegt wird. Gegeben: F, a Gesucht: FR sowie FRH und FRV, , x FRV FRH FR  x : FRH = 2 F  : FRV = F + F = 2 F Zuerst berechnen wir mit (1.2) und (1.4) die Größe der Resultierenden FR. Bild Berechnung der Resultierenden Aus (1.5) folgt der Richtungswinkel a zu:  a = 45 Das Versetzungsmoment der drei Kräfte muss gleich dem Versetzungsmoment der Resultierenden FR in Bezug auf den Punkt A (oder einen anderen Punkt) sein:  MRA = FRV x A : ? Ende

1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten
Satz: Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment MR gleich Null sind. 1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten Damit lauten die Gleichgewichtsbedingungen mit A als Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht: ® : (1.11) : (1.12) A : (1.13)  Es gibt unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Von diesen sind nur drei linear unabhängig. Deshalb können nur drei Unbekannte daraus berechnet werden.  Von den unendlich vielen Gleichgewichtsbedingungen können höchstens zwei für Kräfte aber beliebig viele für Momente verwendet werden.  Werden drei Gleichgewichtsbedingungen für die Momente aufgeschrieben, dann dürfen die drei Bezugspunkte nicht auf einer Linie liegen.  Weitere Momentengleichgewichtsbedingungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. ? Ende

Beispiel 1.4 Gleichgewicht an einer Umlenkrolle
Bild 1.20 zeigt eine bei A reibungsfrei mit zwei Stäben gelagerte Umlenkrolle, über die ein bei B festgemachtes Seil geführt ist, an dem am anderen Ende eine Kraft F angreift. Bild Gleichgewicht an einer Umlenkrolle r A F Seil 1 2 a B Für das freigeschnittene System mit drei unbe-kannten Kräften müssen die Gleichgewichts-bedingungen (1.11) bis (1.13) erfüllt sein. Freischneiden r A F a FSeil FS1 FS2 Aus dem Momentengleichgewicht bezogen auf den Punkt A erhalten wir: A :  Die Kraftgleichgewichtsgleichung in vertikaler Richtung liefert: :  Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:  : Mit FS1 folgt daraus  ? Ende

1. 3. 6. Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer
1.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe Liegen alle eingeprägten Lasten und alle Stützreaktionen eines starren Körpers in einer Ebene, so nennt man diesen Körper auch starre Scheibe. Das idealisierte Modell starre Scheibe findet in der Statik häufig Verwendung z. B. zur Berechnung der Lagerreaktionen von Kränen, Brücken, Bauträgern usw. Zur eindeutigen Angabe der Lage einer starren Scheibe in der Ebene sind 3 Koordinaten notwendig. Die freie starre Scheibe hat in der Ebene folglich f = 3 Freiheitsgrade, d. h., ihre Lage ist durch drei Koordinaten eindeutig bestimmt (siehe Bild 1.21). x y A Bild Mögliche Lagebeschreibungen einer starren Scheibe Lagebeschreibung durch drei Koordinaten möglich: xA , yA ,  A’  starre Scheibe starre Scheibe r  oder r ,  ,  starre Scheibe starre Scheibe yA xA ? Ende

Achtung: Ausnahmen beachten!
Durch Lagerungen und Abstützungen (Bindungen b) wird die Anzahl der Freiheitsgrade f der starren Scheibe verringert. Eine starre Scheibe kann beispielsweise durch Seile, Stäbe oder reibungsfreie Auflagen in ihrer Lage fixiert werden. Diese Lagermöglichkeiten binden jeweils einen Freiheitsgrad und heißen deshalb einwertige Lager. Achtung: Ausnahmen beachten! Die starre Scheibe mit drei einwertigen Lagern ist unbeweglich, d. h. sie hat den Freiheitsgrad f = 0. Mit Hilfe des Schnittprinzips lassen sich die Lagerkräfte freischneiden. An dem freigeschnittenen starren Körper müssen drei Gleichgewichtsbedingungen (z. B. Gleichungen (1.11) bis (1.13)) erfüllt sein, aus denen die Größe von drei Lagerkräften eindeutig bestimmt werden kann. Eine solche Lagerung, bei der die Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichts-bedingungen berechnet werden können, heißt statisch bestimmte Lagerung. ? Ende

Beispiel 1.5 Berechnung der Lagerreaktionen an einer starren Scheibe
Zur Lösung schneiden wir die Lager frei und tragen die Lagerkräfte an (Bild 1.22 rechts). Schnittskizze: FG a 45° FN FS FSt d A B C FG Seil Stab a 45° Bild Lagerreaktionen an einer starren Scheibe Schnitt Wir erhalten: Die Lagerkräfte berechnen wir aus 3 Momentengleichgewichts-bedingungen um die 3 Punkte A, B und C . A :  B :  C :  Eine Kontrolle kann z. B. mit Hilfe des Kräftegleichgewichts erfolgen:  :  erfüllt! ? Ende

1.4 Ebene Tragwerke 1.4.1 Grundbegriffe ?
Die Grundelemente von Tragwerken sind Idealisierungen von Bau- und Maschinen-bauelementen. Dazu gehören unter anderem Linientragwerke (Seil, Stab, Balken) und Flächentragwerke (Scheibe, Platte, Schale). Linientragwerke (Länge groß gegenüber den Querschnittsabmessungen; siehe Bild 1.23): Bild 1.23 Linientragwerke Stab, Seil (nur Längsbelastung) Stabachse Balken (Längs-, Momenten-und Querbelastung) Balkenachse gekrümmter- oder Bogenträger (Belastungen wie Balken) gekrümmte Balkenachse Flächentragwerke (Flächenausdehnung groß gegenüber der Dicke) Bild Flächentragwerke Scheibe (ebene Mittelfläche, Belastung in der Mittelebene) Schale (gekrümmte Mittelfläche, Belastung beliebig) Platte (ebene Mittelfläche, Belastung senkrecht zur Mittelebene) ? Ende

1.4.2 Lagerung starrer Scheiben
Ein Lager bindet eine Scheibe an eine unbewegliche Umgebung. Für eine durch Lager gebundene starre Scheibe gilt, wenn bges die Summe aller Lagerbindungen ist:  die starre Scheibe ist statisch bestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - bges = 0  die starre Scheibe ist beweglich, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - bges > 0  die starre Scheibe ist statisch überbestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - bges < 0 Wenn das System statisch überbestimmt gelagert ist, reichen die Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Lagerreaktionen nicht aus. Die Annahme eines starren Körpers muss dann fallen gelassen werden. Neben den schon im Kapitel erwähnten einwertigen Lagern gibt es noch eine Reihe anderer Lager, die die Anzahl der Freiheitsgrade f der starren Scheibe einschränken. Wir wollen nachfolgend die üblichen Lager genauer betrachten und die dafür in Rechnungen üblichen symbolischen Darstellungen einführen. ? Ende

a) Loslager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 1, d. h
a) Loslager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 1, d. h. das Lager ist einwertig. Praktische Beispiele für Loslager sind die Stabstütze (Pendelstütze), das Seil, das reibungsfreie Auflager, die reibungsfreie Gleithülse. Beachte: Seile können nur Zugkräfte und reibungsfreie Auflager nur Druckkräfte übertragen. Bild Darstellung einwertiger Lager (Loslager); gestrichelt = Richtung in der Kräfte aufgenommen werden Stabstütze (Pendelstütze): Kraftrichtung starrer Körper oder Kraftrichtung Stab Reibungsfreie Auflager: Kraftrichtung Reibungsfreie Gleithülse: Kraftrichtung Kraftrichtung Kraftrichtung ? Ende

Das Bild 1.26 zeigt die reale Ausführung eines einwertigen Brückenlagers, welches als reibungsfreies Auflager idealisiert werden kann. Originallager der Friedrich-Ebert-Brücke Magdeburg: Einbauzeit , Rekonstruktion 2000, Verstellbereich 12 cm, Eigengewicht 6,8 t Ansicht des Lagers Detail des Verstellbereichs Verstellrichtung Lastaufnahmerichtung 12 cm Bild Reale Ausführung eines Brückenlagers der Bauart: 4-gliedriges Stelzenlager ? Ende

b) Festlager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 2, d. h
b) Festlager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 2, d. h. das Lager ist zweiwertig. Praktische Beispiele für Festlager sind reibungsfreies Gleitlager (Scharnier, Gelenk), Auflage mit Haftung, Schnittpunkt der Stabachsen zweier Pendelstützen. Bild Darstellung zweiwertiger Lager (Festlager); gestrichelt = Richtung in der Kräfte aufgenommen werden Die üblichen symbolischen Darstellungsformen von Festlagern und der Ersatz von zwei Pendelstützen durch ein Festlager sind in Bild 1.27 dargestellt. Kraftrichtung mit unbekanntem Winkel a a oder zwei beliebige Kraftrichtungen (zweckmäßig senkrecht zueinander) Ersatz zweier Pendelstützen durch ein Festlager A A ? Ende

c) Einspannung: Die Anzahl der Bindungen ist b = 3, d. h
c) Einspannung: Die Anzahl der Bindungen ist b = 3, d. h. das Lager ist dreiwertig) Neben zwei Lagerkräften (wie beim Festlager) nimmt das Lager auch ein Biegemoment auf. Praktische Anwendungsfälle für Festlager sind  an eine starre Platte angeschweißter Träger,  in eine Mauer eingefügter Träger (siehe Bild 1.28),  durch Schrauben oder Niete mit einer starren Platte verbundener Träger. Die übliche symbolische Darstellung einer Einspannung ist in Bild 1.28 dargestellt. Bild Darstellung einer Einspannung (b = 3) und von beweglichen Einspannungen (b = 2) Einspannung: Zwei beliebige Kraftrichtungen (gestrichelt; senkrecht zueinander zweckmäßig) und ein Moment Bewegliche Einspannungen: Eine Kraftrichtung (Richtung gestrichelte) und ein Moment Hinweis:  Die starre Einspannung ist ein Idealfall, bei dem die Elastizität der Lagerung vernachlässigt wird.  Schrauben- und Nietverbindungen haben Zwischenstellungen zwischen Festlager und Einspannung (Elastizität wird oft vernachlässigt).  Es gibt auch bewegliche Einspannungen (die Anzahl der Bindungen ist dann b=2, siehe Bild 1.28) ? Ende

1.4.3 Streckenlasten 1.4.3.1 Definition von Streckenlasten
Bild Streckenlast Fi q(z) Streckenlasten sind auf eine Linie bezogene Lasten (Bild 1.29), z. B. durch das Eigenwicht, durch Schüttlasten, durch Windlasten, durch Scheelasten u. ä. qi zi z zi Man kann sich eine Streckenlast als sehr viele, unterschiedlich große Kräfte Fi vorstellen, die auf den Träger wirken. Die Intensität der Streckenlast an der Stelle zi ergibt sich zu (vgl. Bild 1.29) Balken y (1.14) (1.15) Für differentiell kleinen Größen folgt aus (1.14) Die Streckenlast hat die Intensität q(z) mit der Einheit Kraft pro Länge. Die Einheit ist N/m (kN/m, N/mm). ? Ende

Beispiel: Eigengewicht eines Balkens als Streckenlast
dFG = gdV r - Dichte g - Erdbeschleunigung dV - Volumenelement, dV = Adz A - Querschnittsfläche Es bedeuten: q z dz Bild Eigengewicht eines Balkens als Streckenlast Aus der Gewichtskraft des differentiell kleinen Balkenabschnitte der Länge dz ergibt sich eine differentiell kleine Einzelkraft der Größe (siehe Bild 1.30): Der Vergleich mit (1.15) bzw. Einsetzen von dFG in (1.15) liefert: In ähnlicher Weise lassen sich die Intensitäten von Streckenlasten infolge Schneelast, Schüttgut o.ä. berechnen. ? Ende

1.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast
b z q(z) l Bild Resultierenden einer Streckenlast dF = q(z)dz Die Resultierende einer Streckenlast ergibt sich durch Aufsummieren (Integrieren) der differentiellen Einzelkräfte dF (1.15) über die Länge l, auf der die Last wirkt. Damit ergibt sich ( vgl. Bild 1.31): FR dz zR (1.16) Zur Bestimmung der Lage der Resultierenden ermitteln wir zunächst das Moment der Streckenlast bezüglich des Punktes 0. (1.17) Mit dem Moment der Resultierenden FR bezogen auf den Punkt Null (1.18) folgt durch Gleichsetzen von (1.17) und (1.18) der Angriffspunkt zR der Resultierenden (1.19) ? Ende

Hinweis: An der Gleichung (1.16) erkennt man, dass FR formal aus der „Fläche“, die durch q(z) und der Länge l = (b - a) aufgespannten wird, berechnet werden kann (man beachte bei der „Flächenberechnung“ die unterschiedlichen Einheiten in z- Richtung und senkrecht dazu!). An der Gleichung (1.19) erkennt man, dass FR durch den Flächenschwerpunkt der durch q(z) und der Länge l = (b - a) aufgespannten Fläche verläuft (vgl. Kapitel Flächenschwerpunkt, Gleichung (1.44)). Beispiele für die Berechnung der Resultierenden von Flächenlasten: Bild Resultierende einer Rechtecklast und einer linear veränderlichen Last (Dreiecklast) Rechtecklast l q0 FR = q0l Dreieckslast l q0 (max. Intensität) FR = q0l 1 2 ? Ende

1.4.4 Beispiele Beispiel 1.7: Balken auf zwei Stützen mit Einzellast
Die Belastungen und alle Abmessungen sind gegeben. Gesucht sind die Lagerreaktionen. Bild Balken auf zwei Stützen mit Einzellast A B F a b  Schnittskizze: FAV FAH A FB B a b Fcos Fsin Gleichgewichtsbedingungen:  : A : B : Kontrolle:  : ? Ende

Beispiel 1.8: Eingespannter Kragbalken mit Kräftepaar
Bild Eingespannter Kragbalken mit Kräftepaar A B F a b A F a b B FAH FAV MA Die Gleichgewichtsbedingungen am freigeschnittenen Balken liefern:  : FAV - F + F = 0  : MA + F a - F (a+b) = 0 A : Hinweis: Die Aufgabe zeigt, dass bei Wirkung eines Kräftepaares nur das Moment (M = Fb) des Kräftepaares in das Lagermoment eingeht und der Abstand des Kräftepaares vom Lager keine Rolle spielt. Das ist eine Bestätigung des im Kapitel aufgestellten Satzes, dass das Moment (Kräftepaar) am starren Körper ein freier Vektor ist. ? Ende

Beispiel 1.9: Verzweigter Träger mit Dreiecklast
Schnittskizze: Bild Verzweigter Träger mit Dreiecklast q0 a B C A Schnitt C FS a B FS FR xR A FAH FAV Resultierende: FAH FAV A Gleichgewichtsbedingungen  : A :  : ? Ende

1.5 Scheibenverbindungen
1.5.1 Ermittlung der statische Bestimmtheit Wir betrachten ein allgemeines ebenes Tragsystem, das aus n starren Scheiben (Bild 1.36) besteht und stellen die Frage, ob das System statisch bestimmt gelagert ist. A B Fi i 1 2 n F1 G1 G2 G4 G3 G5 G6 Bild Scheibenverbindung Überlegung: Ist jede einzelne starre Scheibe frei, so gilt f = 3n. Die Anzahl der Freiheitsgrade wird durch die Bindungen verringert. Bezeichnen wir die Summe der Wertigkeiten aller Bindungen (Lager und Verbindungen) mit b, so gibt es b unbekannte Kräfte und Momente. Wir benötigen also b Gleichgewichtsbedingungen, um diese Größen eindeutig bestimmen zu können. Zur Klärung der oben gestellten Frage schneiden wir die Scheibenverbindung vollkommen frei (siehe Bild 1.37 auf der nächsten Seite). ? Ende

i Fi 2 1 F1 A n B FB FAV FAH Bild Freigeschnittene Scheibenverbindung Es gibt 6 Gelenke mit insgesamt 12 Gelenkkräften. Dazu kommen noch 3 Auflagekräfte. Das gibt insgesamt 15 unbekannte Kräfte! Wir haben 5 starre Scheiben. An jeder starren Scheibe müssen 3 Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Damit ergeben sich 15 Gleichungen für 15 unbekannte Kräfte. ? Ende

Satz: Eine Scheibenverbindung ist im Gleichgewicht, wenn jede starre Scheibe für sich im Gleichgewicht ist. An jeder ebenen starren Scheibe stehen 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Bei n Scheiben gibt es also insgesamt 3n linear unabhängige Gleichgewichtsbedingungen. Die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit eines Systems aus n ebenen starren Scheibe mit b Bindungen lautet damit (1.20) Beachte: Diese Bedingung ist notwendig, jedoch nicht hinreichend! Analog zur einzelnen starren Scheibe gilt für den Freiheitsgrad einer Scheibenverbindung aus n starren Scheiben: (1.21) Es gilt: b  3n - Scheibenverbindung ist ein Mechanismus (zu wenig Bindungen!) b = 3n - Der Freiheitsgrad f ist Null. Die b unbekannte Größen lassen sich aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. b > 3n f = 0 ist möglich, aber die Gleichgewichtsbedingungen reichen für die Berechnung der Lager- und Verbindungsreaktionen nicht aus! ? Ende

Beispiele 1.10: Ermittlung der statischen Bestimmtheit
In den folgenden Beispielen bedeuten • römische Zahlen = Nummer der starren Scheibe • arabische Zahlen = Wertigkeit der Bindung a) I Bild Beispiele zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit b) I 2 III I c) 1 Stab 3 II II II 2 2 IV 2 2 3 2 2 n = 2 b = 6 b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! n = 4 b = 12 b = 3n  12 = 12 statisch bestimmt! n = 2 b = 8 b = 8 > 3n = 6  statisch unbestimmt! Hinweis: • a) und b) veranschaulichen unterschiedliche Zählweisen für das gleiche Tragwerk. • Bei der Zählweise b) können auf die Scheiben III und IV eingeprägte Lasten wirken. Die Scheiben I, III und IV sind durch ein Zweifach-Gelenk (mögliche konstruktive Ausführung siehe Bild 1.39, nächste Seite) der Gesamtwertigkeit 4 verbunden. ? Ende

? III III klein! I I IV IV 2 Gelenke an der Scheibe I
Bild Mögliche Konstruktionen von Zweifachgelenken 2 Gelenke an der Scheibe I mit kleinem Abstand zueinander IV I III klein! Scheiben I, III und IV auf einer Achse gelenkig verbunden I III IV ? Ende

1.5.2 Dreigelenkträger Ein Dreigelenkträger (-bogen, -rahmen) besteht aus zwei starren Scheiben, die miteinander durch ein Gelenk verbunden sind. Jede Scheibe ist durch ein Festlager fixiert (siehe Bild 1.40). Beachte: Die beiden Festlager und das Verbindungsgelenk zwischen den zwei Scheiben des Dreigelenkträgers dürfen nicht auf einer Linie liegen. Allgemeines Berechnungskonzept (am Beispiel erläutert): I II F G 2 A B M Bild Dreigelenkbogen mit Schnittskizze Schnitt I Schnitt II Schnitt I Schnittskizze: I F A G Schnitt II B M II G FAH FAV FGH FGV FBH FBV FGV Prüfen der statischen Bestimmtheit: b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! Gleichgewichtsbedingungen (empfohlene): I A : Gleichung für die Unbekannten FGH, FGV FGH, FGV II B : Gleichung für die Unbekannten FGH, FGV I  : Gleichung für FAH  : Gleichung für FAV II  : Gleichung für FBH  : Gleichung für FBV Kontrollmöglichkeiten: I G : und/oder II G : ? Ende

Hinweis: Im Gleichgewichtsfall darf man jedes System und jedes Teilsystem wie einen starren Körper behandeln (Erstarrungsprinzip, siehe Kapitel 1.1.1) Daher gelten Äquivalenz- und Gleichgewichtsbeziehungen z. B. auch für das Gesamtsystem des eben vorgestellten Dreigelenkträgers. Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem können für Kontrollzwecke aber auch zur Berechnung von Lagerreaktionen genutzt werden, wie das nachfolgende alternative Lösungskonzept, angewandt auf das Beispiel von Bild 1.40, zeigt. Gesamtsystem: I II F G A B M Bild Teilweise Berechnungen Lagerreaktionen am Gesamtsystem Alternatives Lösungskonzept (am Beispiel in Bild 1.41 erläutert) : Schnitt Schnittskizze: A B F G M x y Verbindungsgerade zwischen den Lagern A und B FAx FAy FBx FBy Gleichgewichtsbedingungen: A :  Gleichung zur unmittelbaren Berechnung von FBy B :  Gleichung zur unmittelbaren Berechnung von FAy Alle noch fehlenden Größen, d. h. die beiden Gelenkkräfte und die Lagerreaktion FAx und FBx, lassen sich nach einer weiteren Schnittführung durch das Gelenk entweder am linken oder am rechten Teilsystem gewinnen. ? Ende

? Hinweise zur Vereinfachung :
Ist eine der beiden starren Scheiben eines Dreigelenkträgers unbelastet, so kann diese Scheibe als eine so genannte Pendelstütze behandelt werden, die nur eine Kraft auf der Verbindungslinie zwischen dem Gelenkpunkt und dem Lagerpunkt aufnimmt (siehe Bild 1.42). Die Richtigkeit dieser Aussage kann sehr leicht unter Nutzung der Gleichgewichtsbedingungen überprüft werden. Bild Vereinfachung bei einer unbelasteten Scheibe des Dreigelenkbogens 2 A B G F I II Dreigelenkbogen Scheibe II lastfrei! 2 A B G 1 F I Vereinfachtes System Pendelstütze FS B G F I FAH FAV A Schnittskizze b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! b = 3n  3 = 3 statisch bestimmt! ? Ende

Beispiel 1.11 Lagerreaktionen und Gelenkreaktionen für einen Dreigelenkbogen
Für den Dreigelenkbogen nach Bild 1.43 sind die Lager- und Gelenkreaktionen gesucht. G A B F q I II a Bild Lager- und Gelenkreaktionen für einen Dreigelenkbogen A G F I a FR = qa a/2 B II FAH FAV FGH FGV FGV FBH FBV FGH Die Belastung und die Geometrie werden als bekannt angenommen. Die Lösung soll nach dem allgemeinen Lösungskonzept (siehe Seite 67) für Dreigelenkbögen vorgenommen werden. Hinweis: Beim Schneiden im Gelenk G darf die dort angreifende Einzelkraft theoretisch zu beliebigen Anteilen auf die beiden Scheiben im Gelenkpunkt aufgeteilt werden. Praktisch sinnvoll ist jedoch eigentlich nur, jeweils die Hälfte der Kraft auf beide Scheiben oder die gesamte Einzelkraft nur auf eine Scheibe (gleichgültig auf welche) aufzuteilen. Wir setzen die gesamte Kraft auf die Scheibe I, weil dadurch die Rechnung etwas einfacher wird (Scheibe II ist dann bezüglich äußerer Belastungen lastfrei). Scheibe I: A : (1) Scheibe II: B : (2) Scheibe I: ® : : ? Ende

? B G II a FGV FBH FBV FGH (3) Scheibe II: ® : (4) : A G F I FAH FAV
Hinweis: Bei diesem Beispiel könnte die Scheibe II auch als Pendelstütze angesehen werden, da auf ihr infolge der Aufteilung der gesamten Kraft F auf die Scheibe I keine äußere Belastung mehr steht (vgl. Hinweise zur Vereinfachung und Bild 1.42). Der Dreigelenkbogen würde sich wie im folgenden Bild gezeigt vereinfachen: A G F I FAH FAV B a FR = qa a/2 Durch Berechnung von FB soll gezeigt werden, dass beide Systeme gleiche Lager- und Gelenkreaktionen liefern. II FBH FBV FB 45 2a A : Diese Lagerreaktion muss gleich der Resultierenden der Lagerkomponenten FBH und FBV bei B sein. Mit (3) und (4) folgt für die resultierende Lagerkraft bei B:. ? Ende

1.5.3 Gerberträger Ein gerader Träger, der an (2+k) Lagerpunkten gestützt ist (davon ist ein Lager ein Festlager, die übrigen Lager sind Loslager, deren Kräfte nicht in Richtung der Trägerlängsachse fallen dürfen), ist wegen f = 3n-b = 3-(2+1+k) = -k ein Träger, der k-fach statisch unbestimmt gelagert ist. Nach einem Vorschlag von H. GERBER (1866) kann man den Träger durch den Einbau von k Gelenken statisch bestimmt machen. Diese Art von Trägern, die beispielsweise beim Bau von Eisenbahnbrücken vielfach verwendet wurden, nennt man Gerberträger. Bild Durchlaufträger mit vier Stützen Beispiel: Der Durchlaufträger (Bild 1.44) mit 2+k=4 Stützen ist k=2-fach statisch unbestimmt. 2 1 I f = 3n - b = = -2 Er kann durch den Einbau von k=2 Gelenken zu insgesamt vier verschiedene statisch bestimmte Gerberträger verwandelt werden (Bild 1.45). Bild 1.45 4 mögliche Gerberträger 2 1 I II III f = 3n - b f = = 0 2 1 I II III 2 1 I II III 2 1 I II III Bedingung: Zwischen zwei Lagern dürfen höchstens zwei Gelenke eingeführt werden, und jedes Teilsystem (starre Scheibe) darf höchstens zwei Lager aufweisen. ? Ende

Beispiel 1.12 Berechnung eines Gerberträgers mit vier Stützen
Für einen Gerberträger (Bild 1.46) sollen die Lager- und Gelenkkräfte berechnet werden. Schnitt II Schnitt III Schnitt I A B G1 G2 C D F 2a a q0 30° Dazu schneiden wir den Träger an den Gelenken und Lagern frei und erhalten die drei in Bild 1.47 dargestellten Teilsysteme mit 9 unbekannten Auflager- und Gelenkkräften. Bild Gerberträgers mit vier Stützen 2q0a FGH2 FGV2 II G1 G2 2a FGV1 a FA FBV FBH I FGH1 FGV1 A B G1 2a a Bild Teilsysteme nach dem Freischneiden des Gerberträgers von Bild 1.46 III FC FD G2 C D a FGV2 FV = F 1 2 An jedem Teilsysteme schreiben wir drei Gleichgewichtsbedingungen auf. Das sind 9 Gleichun-gen für die 9 Unbekannten. Aus dem Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung folgt zunächst : Teilsystem III:  : Teilsystem II:  : Teilsystem I:  : ? Ende

II G1 : 2qoa2 + FGV22a = 0  FGV2 = -qoa
Durch das Aufschreiben von sechs Momentengleichgewichtsbedingungen in der nachfolgenden Reihenfolge lassen sich nacheinander alle noch fehlenden Unbekannten ermitteln, wobei aus jeder Gleichung sofort eine weitere Unbekannte berechnet werden kann. 2q0a FGH2 FGV2 II G1 G2 2a FGV1 FGH1 FA FBV FBH I A B a III FC FD C D Bild Teilsysteme nach dem Freischneiden Die Teilsysteme nach Bild 1.47 werden hier nochmals dargestellt, damit das Aufschreiben der folgenden Gleichungen besser verfolgt werden kann. II G1 : 2qoa2 + FGV22a = 0  FGV2 = -qoa G2 : FGV12a - 2qoa2 = 0  FGV1 = qoa I A : FBV2a - FGV13a = 0  FBV = 1,5·FGV1 = 1,5 · qoa B : FA2a + FGV1a = 0  FA = - 0,5·FGV1 = -0,5·qoa III C : - FGV2a - 0,5·Fa + FDa = 0  FD = 0,5·F + FGV2 = 0,5·F - qoa D : FGV22a + FCa = 0  FC = - 2FGV2 = 2qoa Hinweis: Natürlich können sowohl alternative Gleichgewichtsbedingungen als auch eine andere Reihenfolge der Berechnung der Unbekannten benutzt werden. ? Ende

1.5.4 Ebene Fachwerke Ein Fachwerk ist ein Stabsystem aus gelenkig miteinander verbundenen geraden Stäben, das nur durch Kräfte in den Gelenken (Knoten) belastet ist. Fachwerke habe eine große praktische Bedeutung. Sie werden häufig benutzt, um Leicht-bautragwerke auszuführen, da es durch die in Einzelstäbe aufgelöste Bauweise geling, mit geringem Materialeinsatz große Lasten aufzunehmen und große Spannweiten zu überbrücken. Fachwerke werden daher zum Beispiel häufig für Dachkonstruktionen, Hochspannungsmasten, Kranausleger, Brückenträger, Raumfahrtstrukturen u. ä. eingesetzt. Ein Fachwerksystem, das aus Stäben und Verbindungsknoten (siehe Bild 1.48 und die Beispielbilder auf den folgenden Seiten) besteht, muss folgende Voraussetzungen erfüllen: Ein Knoten ist eine gelenkige (reibungsfreie) Verbindung von i Stäben, wobei sich die Längsachsen aller i Stäbe genau in einem Punkt, dem Knotenpunkt treffen. An jedem Knoten liegt somit ein zentrales Kraftsystem vor. Ein Fachwerk wird nur an den Knoten durch Einzelkräfte belastet. Zwischen zwei Knoten kann sich nur jeweils ein Stab befinden. Diese Annahmen sichern, dass die Längsachse jeden Stabes identisch ist mit der Wirkungs-linie der Stabkraft und es außer diesen Stablängskräften keine weiteren Schnittgrößen, vor allem keine Biegemomente, in den Stäben gibt. Hinweis: Die in der Praxis nicht immer zutreffenden Voraussetzungen (Knoten sind Gelenke; nur Lasten auf den Knoten) führen zu Abweichungen in den Ergebnissen, die praktisch oft vernachlässigt werden können. ? Ende

Einsatzgebiete für Fachwerke
Brücken, Dachkonstruktionen, Hochspannungsmasten, Kräne usw. Hinweis: Die in der Praxis nicht immer zutreffenden Voraussetzungen (Knoten sind Gelenke; nur Lasten auf den Knoten) führen zu Abweichungen in den Ergebnissen, die praktisch oft vernachlässigt werden können. Knoten Stab Brücken: Hubbrücke über die Elbe, Magdeburg (Technisches Denkmal) ? Ende

Dachkonstruktionen: Knoten Stab ? Ende

? Eine mögliche Ausführung eines räumlichen Gelenkes
Achtung: Die Mittellinien aller Stäbe schneiden sich in einem Punkt! Es entsteht an dem Knoten ein zentrales Kraftsystem. Bildquelle: VDI-Nachrichten vom 24.November 2002 ? Ende

? Knoten eines räumlichen Fachwerkes Ende
Bildquelle: Mit freundlicher Genehmigung des Fachbereichs Holzbau der FH Augsburg ? Ende

1.5.4.1 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken
In Bild 1.48 wird der Aufbau eines einfachen Fachwerks dargestellt , an dem wir die Überprüfung der statischen Bestimmtheit zeigen wollen. K2 FS4 FS3 FS1 Schnitt um K2: Grundgedanke: An jedem Knoten (siehe z. B. Schnitt um K2 oben) liegt ein zentrales Kraftsystem vor, für das zwei linear unabhängige Gleichgewichtsbedingungen aufge-schrieben werden können. Die Anzahl der Unbekannten ist die Summe aus der Anzahl der Stäbe und der Bindungen (Wertigkeiten) der Lagerung des Fachwerks. Durch Gleich-setzen der Zahl der Unbekannten und der möglichen Zahl der Gleichungen erhält man die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit von ebenen Fachwerken. F1 1 F1 F2 4 Stab 4 K1 2 A B 5 K4 K3 Knoten K2 K2 3 Bild Einfaches Fachwerk mit Schnitt um den Knoten K2 Fachwerk mit: 5 Stäben 4 Knoten mit s - Anzahl der Fachwerkstäbe b - Summe der Wertigkeiten der Lager k - Anzahl der Knoten s + b = 2 k Ein ebenes Fachwerk ist statisch bestimmt, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: (1.22) Für das Fachwerk von Bild 1.48 folgt mit s=5, b=3 und k=4 aus (1.22) : 5 + 3 = 2 4 8=8 statisch bestimmt  ? Ende

1.5.4.2 Arten von Fachwerken 13 + 3 = 2  8 s + b = 2 k ?
Fachwerk mit einfachem Aufbau Das Grundelement eines Fachwerkes mit einem einfachen Aufbau ist ein Dreieck, das aus drei Stäben gebildet wird. An jeden Stab kann durch schrittweises Hinzufügen von jeweils zwei weiteren Stäben und einem Knoten eine beliebige Erweiterung des Fachwerks erreicht werden (siehe Bild 1.49). 1 A F1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B F2 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 Bild Fachwerk mit einfachem Aufbau s + b = 2 k 16 = 16  statisch bestimmt! = 2  8 Prüfen der statischen Bestimmtheit: Jedes Dreieck stellt für sich eine starre Scheibe dar, so dass das Gesamtsystem schließlich ebenfalls eine starre Scheibe ergibt. Wird diese starre Fachwerkscheibe an beliebigen Knoten statisch bestimmt gelagert, entsteht ein insgesamt statisch bestimmtes Fachwerk. Für ein so aufgebautes Fachwerk ist die Gleichung (1.22) s + b = 2 k stets erfüllt ist. ? Ende

? Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau
Ein Fachwerk, das nicht ausschließlich aus Stabdreiecken besteht, bezeichnet man als Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau. Bei solchen Fachwerken treten zahlreiche Sonderfälle auf, die hier nicht alle diskutiert werden können. In Bild 1.50 a) ist ein statisch bestimmtes Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau dargestellt. Die Gleichung (1.22) ist mit s = 4, b = 4 (vier einwertige Lagerstäbe) und k = 4 erfüllt. Beachte: Bei Fachwerken mit nicht einfachem Aufbau muss darauf geachtet werden, dass nicht statisch unbestimmte Ausnahmefälle entstehen. Ein solcher Ausnahmefall, ähnlich dem Fachwerk in Bild 1.50 a), ist in Bild 1.50 b) dargestellt. Für diesen Ausnahmefall ist die Gleichung (1.22) mit s = 4, b = 4 (vier einwertige Lagerstäbe) und k = 4 ebenfalls erfüllt, das Fachwerk ist aber ein statisches unbestimmtes System, da sich der Stab 2 in horizontaler Richtung um eine differentiell kleines Stück bewegen kann. 1 F 2 3 4 K1 K2 K3 K4 Bild Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau: a) statisch bestimmt, b) statisch unbestimmter Ausnahmefall 1 F 2 3 4 K1 K2 K3 K4 a) statisch bestimmt s + b = 2 k 4 + 4 = 24  8 = 8  b) statisch unbestimmt ? Ende

1.5.4.3 Berechnungsmethoden für Fachwerke
Knotenschnittverfahren Grundidee: Jeder Knoten des Fachwerks wird „freigeschnitten“. Es entstehen k zentrale Kraftsysteme, an denen 2k Gleichgewichtsbedingungen für die s+b=2k unbekanten Stabkräfte und Lagerreaktionen aufgeschrieben werden können. Man beginnt bei einem Knoten (Startknoten) mit nur zwei unbekannten Stabkräften (eventuell vorher Lagerreaktionen berechnen), schneidet diesen frei und berechnet die zwei Stabkräfte aus den zwei Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kraftsystems am Knoten. Dann geht man zum nächsten Knoten mit wieder nur zwei unbekannten Stabkräften, um diese durch Freischneiden wie am ersten Knoten zu berechnen. So kann man von Knoten zu Knoten durch das Fachwerk gehen, bis alle Stabkräfte und eventuell Lagerreaktionen berechnet sind. Praktische Vorgehensweise für Fachwerke mit einfachem Aufbau: Hinweis: • Ein dieser Methode entsprechendes grafisches Verfahren ist der so genannte Cremonaplan. • Das Knotenschnittverfahren geht auch für Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau. Allerdings entstehen hier stärker gekoppelte Gleichungssysteme. ? Ende

„Nullstäbe“ dürfen nur für die Berechnung weggelassen werden!
Beispiel Anwendung des Knotenschnittverfahrens 1 A F1 = 2F 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B F2 = F K1 K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 a Bild Fachwerk (links) und Schnittbild (rechts) mit angedeuteten Knotenschnitten Freischneiden und Lagerreaktionen berechnen, da kein Startknoten vorliegt. A K1 1 F1 = 2F 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B F2 = F K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 FB FAV FAH a Startknoten kann K1 oder K8 sein! Wir wählen K1. A K1 FAV FAH FS1 FS2 a Verallgemeinerung zu Schnitt um K3 :  : FS1, FS2 Schnitt um K1: (Bild 1.52) Unbelasteter Knoten Ki, zwei Stäbe eine Richtung, dritter Stab unter a  0, , dann gilt immer: K3 FS3 FS6 FS2 :  : FS2 = FS6 FS3 = 0 Schnitt um K3: (Bild 1.52) K i FS i = 0 („Nullstab“) FS i+1 = Fs i-1 FS i-1 a  0,  Bild 1.53 K2 FS4 FS5 FS1 FS3=0 a :  : FS4, FS5 Schnitt um K2: (Bild 1.52) „Nullstäbe“ dürfen nur für die Berechnung weggelassen werden! Weitere Schnitte (z. B. in der Knotenreihenfolge K4, K5, K6, K7) liefern die restlichen Stabkräfte. Alle Ergebnisse dieses Beispiels sind auf der folgenden Seite zusammengestellt. ? Ende

Lagerreaktionen: Tabelle 1.1 Stabkräfte FS1 bis FS13 für das Fachwerk nach Bild 1.51 Hinweis: Werden alle Stabkräfte als Zugkräfte definiert (Empfehlung), so kann allein am Vor-zeichen der Stabkraft entschieden werden, ob es sich um einen Zug- oder Druckstab handelt. Ein negatives Vorzeichen bedeutet: Der Stab wird auf Druck beansprucht (in der Regel sind Stabilitätsuntersuchungen für den Druckstab durchzuführen, vgl. Kapitel 2.8.3, F 144). ? Ende

Beispiel 1.14 Stabkraftberechnung mit dem RITTERchen Schnittverfahren
RITTERsches Schnittverfahren Grundidee: Man führt einen Schnitt derart durch drei Stäbe, daß das Fachwerk in zwei Teile zerfällt. Von den geschnittenen drei Stäben dürfen höchstens zwei parallel sein oder in einem Knoten zusammenlaufen. Jetzt kann man die drei Stabkräfte (eventuell müssen vorher die Lagerreaktionen ermittelt werden) an dem einen oder dem anderen Teilsysteme aus drei Gleichgewichtsbedingungen berechnen. Vorzugsweise Anwendung: • Das RITTERsche Schnittverfahren ist besonders dann vorteilhaft einsetzbar, wenn nicht alle Stabkräfte gesucht sind. • Für Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau, bei denen auch nach Berechnung der Lagerreaktionen kein Startknoten für das Knotenschnittverfahren vorliegt, kann das Verfahren zur Berechnung innerer Stabkräfte dienen, um damit Startknoten für das Knotenschnittverfahren zu erhalten. Zur Demonstration des RITTERschen Schnittverfahrens betrachten wir das im Beispiel 1.13 behandelte Fachwerk und nehmen an, dass wir die Lagerreaktionen bereits berechnet haben. Gesucht sind die Stabkräfte FS4 bis FS6. Beispiel Stabkraftberechnung mit dem RITTERchen Schnittverfahren ? Ende

Mit einem Schnitt durch die drei Stäbe der gesuchten Stabkräfte FS4 bis FS6 (siehe Bild 1.54 a) erhalten wir zwei Teilsysteme, von denen das linke Teilsystem in Bild 1.54 b) abgebildet ist. Bild Anwendung des RITTERschen Schnittverfahrens A K1 1 F1 = 2F 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B F2 = F K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 FB FAV FAH a a) Schnitt durch drei Stäbe b) Teilsystem A K1 1 F1 = 2F 2 3 FS6 K2 K3 FAV FAH FS5 FS4 K5 a atana Ritterscher Schnitt Schreiben wir an diesem Teilsystem die folgenden drei Momentengleichgewichtsbedingungen auf, so erhalten wir daraus unabhängig voneinander die gesuchten Stabkräfte. K1 : K2 : K5 : Natürlich sind diese Ergebnisse identisch mit denen vom Beispiel 1.13 (vgl. Tabelle 1.1). ? Ende

1.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen
1.6.1 Definition der Schnittgrößen Die äußeren Belastungen eines Trägers (Balkens) werden durch das System zu den Lagern geleitet und verursachen dort die Lagerreaktionen. Wie an den Lagern, müssen auch im Inneren des Trägers Kräfte und Momente wirken, die bei einer Schnittführung an einer beliebigen Stelle im Inneren des Trägers mit den am jeweils betrachteten Teilsystem angreifenden äußeren Belastungen im Gleichgewicht stehen. Jeder Querschnitt eines Trägers entspricht einer dreiwertigen Verbindung. Die drei Verbindungsreaktionen bezeichnen wir als „Schnittgrößen“. FQ FL Mb A F a Bild Kräfte und Momente im Inneren eines Trägers (Schnittgrößen) z Schnitt bei z: z F a-z A Hinweis: Die Schnittgrößen sind Resultierende von im Querschnitt flächenhaft verteilten Kräften (Spannungen - siehe Festigkeitslehre). • Die Schnittgrößen geben Auskunft über die Beanspruchung (Spannungen) des Trägers und werden zur Berechnung der Verformungen benötigt. Deshalb sind sie ein wichtiges Ziel unserer folgenden Betrachtungen. • ? Ende

Als Bezugssystem für die Schnittgrößen verwenden wir ein (x,y,z)-Rechtssystem
Die z-Achse legen wir in Richtung der Balkenachse, die die Verbindungsgerade aller Querschnittsschwerpunkte ist. Die (y,z)-Ebene ist die Lastebene, d.h. sie enthält alle äußeren Belastungen, Lager- und Verbindungskräfte. FQy FL Mbx z y x Bild Definition der positiven Schnittgrößen am ebenen Träger y z x Schnitt bei z positives Schnittufer negatives Schnittufer markierte Seite (bei y  0 ) FL - Längskraft (oft auch als Normalkraft FN bezeichnet) positiv am positiven Schnittufer in positiver z-Richtung bzw. positiv als Zugkraft (vom Schnittufer weg, vgl. auch Seil, Stab) FQy - Querkraft: (in 2D-Fall oft nur FQ) positiv am positiven Schnittufer in positiver y-Richtung (Querkraft zeigt in Richtung der gestrichelt markierten Seite des Trägers) Mbx - Biegemoment (in 2D-Fall oft nur Mb) um eine zur x-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver x-Richtung (Moment dehnt die gestrichelt markierte Seite des Trägers) Hinweis: Die Definition der Schnittgrößen ist im Prinzip völlig beliebig, und es sind in der Literatur auch abweichende Festlegungen zu finden. Es empfiehlt sich aber, die hier von uns angegebene Definition zu verwenden, da für die Berechnung von Spannungen und Verformungen im Kapitel 2 Festigkeitslehre Formeln entwickelt werden, die diese positive Definition voraussetzen. ? Ende

Hinweis: Schnittgrößen sind Funktionen der Koordinate z
Hinweis: Schnittgrößen sind Funktionen der Koordinate z. Sie ändern an den Stellen ihren funktionellen Verlauf, wo infolge äußerer Belastungen (Kräfte, Momente, Streckenlasten) oder Lagerungen Unstetigkeiten auftreten oder der Träger seine Geometrie verändert, z. B. dort wo der Träger einen Knick oder eine Verzweigungsstelle aufweist. Um bereichsweise stetige Funktionen für die Schnittgrößenverläufe zu erhalten gehen wir wie folgt vor: Liegen n Unstetigkeitsstellen vor, so sind in den (n–1) durch die Unstetigkeitsstellen begrenzten Bereichen genau (n–1) Schnitte für eine vollständige Ermittlung der Schnitt-größenverläufe notwendig. • Die Lage der Schnittstellen und die positiven Schnittgrößen werden durch geeignete (x,y,z)-Bezugssysteme festgelegt, deren Orientierung nach Möglichkeit einheitlich erfolgen sollte, d. h. die unterschiedlichen Koordinatensysteme sollten durch Drehungen ineinander überführt werden können • Für eine möglichst einfache mathematische Beschreibung ist es sinnvoll, für jeden Bereich i = n - 1, in dem ein Schnitt geführt werden muss, ein eigenes Bezugssystem mit zi = 0 am Bereichsanfang einzuführen. • 8 Bild Beispiel für Einteilung in Bereiche, Bezugssysteme und Schnitte 7 z7 z8 9 Unstetigkeitsstellen (Ziffern 1 bis 9): n = 9 z6 1 y1 z1 2 z2 3 z3 4 5 z5 6 z4 Anzahl der Bereiche = Anzahl der Schnitte = = Anzahl der Bezugssysteme: (n–1) = 8 ? Ende

1.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen
Beispiel Schnittgrößen in einem Balken auf zwei Stützen mit Einzellast A F B 2a a C 30° Bild a) Balken auf zwei Stützen mit Einzellast, a) A F B 2a a C 30° FB FAH FAV b) b) Schnittbild für Lagerreaktionen Lagerreaktionen: :  A :  B :  A F B 2a a C 30° FB FAH FAV Der Balken hat die drei Unstetigkeitsstellen A, B und C (Lasteinleitungsstelle) Bild Definition der Bereiche, der Koordinatensysteme und der Schnitte  2 Bereiche  2 Schnitte notwendig mit zweckmäßig jeweils einem eigenen Bezugssystemen für jeden Bereich zur Beschreibung der Schnittstellen 1. Bereich 2. Bereich z1 y1 y2 z2 ? Ende

1. Bereich: 0  z1  2a z1 y1 A FAH FAV S1 F B 2a - z1 a C 30° FB Bild Schnittbild für den 1. Bereich FQ1 FL1 Mb1 positives Schnittufer negatives Schnittufer Hinweis: Zur Berechnung der Schnittgrößen für einen Bereich können wahlweise zwei Teilsysteme (System mit dem positiven bzw. dem negativen Schnittufer) verwendet werden. Natürlich ergeben sich für beide Teilsysteme identische Ergebnisse. Man sollte deshalb immer das einfachere Teilsystem wählen! Wir wählen hier das linke Teilsystem mit dem positiven Schnittufer. Aus den Gleichgewichts-bedingungen an diesem Teilsystem folgen die Schnittgrößen für den 1. Bereich:  : FAH + FL1 = 0  : - FAV + FQ1 = 0 S1 : - Mb1 + FAVz1 = 0 Werte an den Bereichsgrenzen : ? Ende

2. Bereich: 0 z2 a A F 2a C FAH FAV y2 z2 S2 B a a-z2 Bild Schnittbild für den 2. Bereich FQ2 FL2 Mb2 positives Schnittufer negatives Schnittufer Im 2. Bereich wählen wir von den beiden möglichen Teilsystemen das rechte Teilsystem mit dem negativen Schnittufer, da dieses Teilsystem einfacher ist! Die Gleichgewichtsbedingungen am rechten Teilsystem liefern:  : - FL2 = 0  FL2 = 0  : FQ2 + FB = 0  FQ2 = - FB = - 1/3F S2 : Mb2 - FB(a-z2) = 0  Mb2 = Mb2(z2) = 1/3F(a-z2) Werte an den Bereichsgrenzen: Mb2(z2=0) = 1/3Fa , Mb2(z2=a) = 0 Auf der folgenden Seite werden die in den beiden Bereichen ermittelten analytischen Schnitt-größenverläufe grafisch dargestellt. Die grafische Darstellung vermittelt einen schnellen und übersichtlichen Eindruck von Verlauf der Schnittgrößen im gesamten System. ? Ende

Grafische Darstellung der Schnittgrößenverläufe: (vgl
Grafische Darstellung der Schnittgrößenverläufe: (vgl. analytischen Verläufe auf den zwei letzten Seiten) Hinweis: Die grafische Darstellung ist eine bereichsweise Funktionsdarstellung senkrecht zur Trägerachse. Sie gibt einen optischen Überblick über die Beanspruchung des Trägers. z1 y1 A F B 2a a C 30° y2 z2 Hinweis: Im folgenden werden bei der grafischen Darstellung der Schnittgrößen die Bezugssysteme nicht mehr mit-gezeichnet. Eindeutigkeit wird durch Vorzeichen in den Flächen und Kenn-zeichnung (z. B. FQ - Verlauf) erreicht. Bild Schnittgrößenverläufe FL - Verlauf z1 FL1 FL2 z2 Hinweis: Die Kräfte im FQ-Verlauf können zur Kontrolle oder gleich zur Konstruktion des Querkraftverlaufs verwendet werden. FQ - Verlauf Hinweis: Die allgemeinen Folgerungen aus den differentiellen Beziehungen zwi-schen den Schnittgrößen (Kapitel 1.6.3) können sowohl für die grafische Dar-stellung als auch für die Kontrolle der grafischen bzw. der analytischen Schnitt-größenverläufe sehr hilfreich eingesetzt werden. Mb - Verlauf ? Ende

1.6.3 Differentielle Beziehungen
a) b) q(z)dz y z dz S , b) differentielles Balkenelement der Länge dz F q(z) FQ Mb FL FQ+dFQ Mb+dMb FL+dFL Bild a) Balken Wir schneiden aus dem Balken eines differentiellen Element der Länge dz heraus und tragen die Schnittgrößen am positiven (mit differentiellen Zunahmen) und negativen Schnittufer an (Bild 163 b). Gleichgewichtsbetrachtungen am differentiellen Balkenelement liefert:  : ( FL + dFL ) - FL = 0  dFL = 0  : ( FQ + dFQ ) - FQ + q(z)·dz = 0  dFQ + q(z)·dz = 0 0 S : ( Mb + dMb ) - Mb - (FQdz +dFQdz) - ½q(z)·dz2 = 0  dMb - FQ ·dz = 0 Daraus folgen die differentiellen Beziehungen: (1.23) (1.24) (1.25) ? Ende

Hinweis: Wir haben hier angenommen, dass auf den Balken nur eine Streckenlast qy(z) = q(z) senkrecht zur Balkenlängsachse einwirkt. Falls auch eine Streckenlast qz(z) in Richtung der Längsachse z wirkt, z. B. infolge des Eigengewichts eines senkrecht oder schräg stehenden Balkens, dann gilt für die differentielle Beziehung der Längskraft statt der Gleichung (1.23) Empfehlungen zur Schnittgrößenermittlung: Benutzen Sie die differentiellen Beziehungen zur Kontrolle der analytischen Funktionen und zur Unterstützung bei der grafischen Darstellung. • Bei unverzweigten Tragwerken sollten alle z-Achsen im gleichen Durchlaufsinn und alle y-Achsen zur gleichen Seite hin orientiert werden, damit im FQ- und im Mb-Verlauf an den Übergangstellen der Bereiche die gleichen Schnittgrößendefinitionen gelten. • Treten in einem Tragwerk Unstetigkeitsstellen hinsichtlich Belastung oder Geometrie auf, so beginnt man zweckmäßig an diesen Stellen einen neuen Bereich mit einem neuen Koordinatensystem. • ? Ende

? Allgemeine Folgerungen aus den differentiellen Beziehungen:
In einem Bereich mit der Streckenlast q(z) = 0 gilt: FQ ist konstant und Mb ist eine lineare Funktion. In einem Bereich mit der Streckenlast q(z) = konstant gilt: FQ ist eine lineare Funktion und Mb ist eine quadratische Funktion (Parabel). In einem Bereich mit einer linear veränderlichen Streckenlast q(z) gilt: FQ ist eine quadratische Funktion und Mb ist eine kubische Funktion. Allgemein gilt: In einem Bereich mit einer Streckenlast q(z), die durch ein Polynom n-ter Ordnung in z darstellbar ist, wird die Querkraft FQ ein Polynom (n + 1)-ter Ordnung und das Moment Mb ein Polynom (n + 2)-ter Ordnung. Die Querkraft FQ(z) ist der Anstieg der Funktion für das Moment Mb(z). Eine Einzelkraft in y-Richtung bedeutet einen Sprung im Querkraftverlauf und einen Knick im Momentenverlauf. Eine Nullstelle im Querkraftverlauf bedeutet einen Extremwert im Momentenverlauf (die erste Ableitung des Momentes ist gleich Null, siehe Gleichung (1.25)). Beachte: Das Biegemoment kann natürlich an den Bereichsgrenzen betragsmäßig maximale Werte annehmen, ohne dass dort die erste Ableitung Null ist! Daher müssen stets auch die Werte an den Bereichsgrenzen berechnet werden, wenn man das maximale Biegemoment bestimmen möchte. ? Ende

1.6.4 Anwendungen a F 2F A B Beispiel Balken auf zwei Stützen mit vertikalen Einzelkräften a F 2F FAH = 0 11 4 FB= F 9 FAV = F Bild Balken auf zwei Stützen mit vertikalen Einzelkräften z1 y1 z2 y2 z3 y3 z4 y4 Annahme: Die Berechnung der Lagerreaktionen sei bereits erfolgt! FL - Verlauf Bild Schnittgrößenverläufe Für die analytische Berechnung der Schnittgrößenverläufe sind vier Schnitte notwendig. FL= 0 An den dabei entstehenden Teilsystemen lassen sich die Schnittgrößen aus Gleich-gewichtsbetrachtungen berechnen. 9 4 FAV = F 11 FB= F - + F 3 5 2F F Die Ergebnisse sind in Bild 1.65 grafisch dargestellt. FQ - Verlauf Hinweis: Versuchen Sie, die Schnitt-größenverläufe allein unter Zuhilfenahme der differentiellen Beziehungen und den sich daraus ergebenden Schlussfolge-rungen zu ermitteln. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen in Bild 1.65. Mb - Verlauf FAV a + 7 2 MbMax= Fa FB a ? Ende

Beispiel 1.17 Balken auf zwei Stützen mit konstanter Streckenlast
Schnitt für Lagerreaktionen Gesucht: Analytische Funktionen der Schnittgrößen und grafisch Darstellung A B 2a a q F = qa a) Hinweis: Zur Berechnung der Lager-reaktionen darf die Strecken-last durch ihre resultierende Kraft FR=2qa ersetzt werden. Lagerreaktionen (vgl. Bild 1.66 b): A B a q F = qa FB FAH FAV Bild Balken mit konstanter Streckenlast b) Schnitt im 2. Bereich Schnitt im 1. Bereich FR = 2qa z1 y1 z2 y2  : FAH = 0 B : FAV·2a - FRa + Fa = 0  FAV = 0,5·qa A : FRa - FB·2a + F·3a = 0  FB = 2,5·qa Beachte: Belastungen dürfen im Allgemeinen erst nach einer Schnittführung verschoben bzw. durch äquivalente Lasten (z. B. Resultierende von Streckenlasten) ersetzt werden. Das bedeutet, dass zur Berechnung der Schnittgrößen zwischen den Lagern A und B erst nach der Schnittführung in diesem Bereich von der auf dem betrachteten Teilsystem verbleibenden Streckenlast eine resultierende Kraft gebildet werden darf. Merke: Erst schneiden, dann eventuell Resultierende bilden! ? Ende

1. Bereich: 0  z1  2a A z1 y1 FAH FAV S1 Bild Schnittbild für den 1. Bereich z1 2 qz1  : FL1 + FAH = 0 Gleichgewicht am linken Teilsytem (Bild 1.67) liefert: FL1 FQ1 Mb1  FL1 = 0 : - FAV + q·z1 + FQ1 = 0  FQ1 = q ( 0,5·a - z1 )  Mb1 = 0,5·qz1(a - z1) S1 : - Mb1 + FAV z1 - q·z1·0,5·z1 = 0 Wir wollen eine Kontrolle der Schnittgrößenverläufe im 1. Bereich mit Hilfe der differentiellen Beziehungen vornehmen. Es gilt im 1. Bereich nach dem Einsetzen der berechneten Schnitt-größen in die differentiellen Beziehungen (Gleichungen (1.23) bis (1.25)): und  Die differentiellen Beziehungen sind im 1. Bereich erfüllt! Schnittgrößen an den Bereichsgrenzen: FQ1 (z1 = 0) = 0,5 q a FQ1 (z1 = 2a) = -1,5 q a Mb1 (z1 = 0) = Mb1 (z1 = 2a) = - q a2 ? Ende

Besondere Punkte: Aus den differentiellen Beziehungen folgt, dass das Moment dort einen Extremwert hat, wo die Querkraft Null ist. Diesen Punkt bezeichnen wir mit C und ermitteln die Nullstelle z1C der Querkraft aus Bei z1C = 0,5a ergibt sich damit folgender Extremwert für das Biegemoment: Zur besseren grafischen Darstellung ermitteln wir noch den Punkt D, an dem das Moment Null wird. Die sich formal noch ergebende Lösung z1D = 0 ist bereits bekannt. ? Ende

2. Bereich: 0  z2 a F=qa S2 z2 y2 a – z2 Bild Schnittbild für den 2. Bereich FL2 FQ2 Mb2 Im 2. Bereich ermitteln wir die Schnittgrößen am rechten, wesentlich einfacheren Teilsystem.  : FL2 = 0 Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt:  FL2 = 0  : - FQ2 + F = 0  FQ2 = F = q a S2 : Mb2 + F (a - z2 ) = 0  Mb2 = - F (a - z2 ) = - q a (a - z2) Wir wollen eine Kontrolle der Schnittgrößenverläufe auch im 2. Bereich mit Hilfe der differentiellen Beziehungen vornehmen. Es gilt im 2. Bereich nach dem Einsetzen der berechneten Schnittgrößen in die differentiellen Beziehungen (Gleichungen (1.23) bis (1.25)): und  Die differentiellen Beziehungen sind im 2. Bereich erfüllt! Mb2(z2 = 0) = - q a2 Mb2(z2 = a) = 0 Schnittgrößen an den Bereichsgrenzen : Beachte: Das Biegemoment am Beginn des zweiten Bereichs (bei z2 = 0) ist gleich dem Biegemoment am Ende des ersten Bereichs (bei z1 = 2a). ? Ende

Grafische Darstellung der Schnittgrößen: (vgl
Grafische Darstellung der Schnittgrößen: (vgl. analytischen Verläufe auf den drei letzten Seiten) B a q F=qa A FB FAH FAV C D 2 z1 y1 z2 y2 Bild Schnittgrößenverläufe für Balken auf zwei Stützen mit konstanter Streckenlast FL= 0 FL-Verlauf _ FAV FB FQ-Verlauf F + _ - qa2 qa2 1 8 Mb-Verlauf ? Ende

Beispiel 1.18 Verzweigter Träger mit Einzellast
F F FB FAV FAH 2a a B A z3 y3 z1 y1 z2 y2 Bild Verzweigter Träger mit Einzellast Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir für die Lagerreaktionen die folgenden Lösungen:  : FAV - F = 0  FAV = F A : - FB2a + F 2a = 0  FB = F  : FAH - FB = 0  FAH = F Es werden drei Schnitte in den drei Bereichen des verzweigten Trägers notwendig. Zur Festlegung der Schnittstellen definieren wir für jeden Bereich ein eigenes Bezugssystem (siehe Bild 1.70 oben). ? Ende

? FL-Verlauf : FQ-Verlauf : Mb-Verlauf :
Tabelle 1.2 Schnittgrößen für verzweigten Träger mit Einzellast 1. Bereich: 0  z1  a y2 F FQ2 FL2 Mb2 S2 z2 a - z2 2. Bereich: 0  z2  a y3 FB FQ3 FL3 Mb3 S3 z3 2a - z3 3. Bereich: 0  z3  2a FL1 A z1 y1 FAH FAV FQ1 Mb1 S1 FB=F FAH FL-Verlauf : Bild Schnittgrößenverläufe für verzweigten Träger FQ-Verlauf : Mb-Verlauf : 2Fa + F Fa + V Bild Momentengleichgewicht an der Verzweigungsstelle F FAV + Mb3(z3=0)=2Fa Hinweis: Unmittelbar an der Verzweigungsstelle V muss das Kraft- und Momentengleichgewicht erfüllt sein. Zum Beispiel ist für das Biegemoment Mb bei einem Schnitt unmittelbar bei V das Momentengleichgewicht M=0 erfüllt (vgl. Bild 1.72). Mb1(z1=a)=Fa Mb2(z2=0)=-Fa V : Fa - 2Fa - (-Fa) =  0 = 0 ? Ende

Beispiel 1.19 Kragträger mit Dreieckstreckenlast
Hinweis: Bei diesem Beispiel lassen sich die Schnittgrößen ohne vorherige Berechnung der Lagerreaktionen bestimmen, wenn als Teilsystem, an dem die Schnittgrößen berechnet werden, das freie Trägerende gewählt wird (Bild 1.73 c). A q0 a b) Freischneiden A a q0 z y FAV FAH=0 MA A a c) Schnitt bei z: Bild a) Kragträger mit Dreiecklast, b) Schnittbild, c) Schnitt bei z, d) Schnittgrößenverläufe d) Schnittgrößen FR(z) z 3 q0 q(z) FL - Verlauf Die Lagerreaktionen, die man dann zweckmäßig so positiv definiert wie die Schnittgrößen an diesem Schnittufer (Bild 1.73 b), können später aus den Schnitt-größen am Lager A ermittelt werden (siehe unten). FL FQ Mb z y S FL = 0 q(z)= z , q0 a FR(z)= q(z)·z= z2 q0 2a 1 2 FQ - Verlauf - q0a 1 2 - q0a2 1 6 Mb - Verlauf Kontrolle:  die differentiellen Beziehungen sind erfüllt! 1 2 FAv=FQ(a) = - qa , Lagerreaktionen aus den Schnittgrößen bei A: FAH= FL(a) = 0 , MA = Mb(z=a) = q0a2 1 6 ? Ende

Beispiel 1.20 Gerberträger mit konstanter Streckenlast
q G C A q G a B C Schnitt im Gelenk und an den Lagern Bild Freigeschnittener Gerberträger mit Bezugssystemen und angedeuteter Schnittführung z1 y1 FGV FGH z2 y2 z3 y3 FAH FAV FB FC Bild Gerberträger Wir prüfen: Der Gerberträger weist keine unzulässigen Gelenk- und Lageranordnungen auf (vgl. Kapitel 1.5.3) und die notwendige Bedingung (1.20) b = 3n für die statische Bestimmtheit von Scheibenverbindungen ist mit b = 6 (vier Bindungen durch die Lager A, B und C und zwei durch das Gelenk G) und n = 2 (zwei starre Scheiben) erfüllt ist. Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung am rechten Teilsystem von Bild 1.75 liefert: ® : Aus Gleichgewichtsbedingungen am linken Teilsystem von Bild 1.75 folgt:  : G : A : Am rechten Teilsystem erhalten wir B : C : ? Ende

Tabelle 1.3 Schnittgrößen für Gerberträger
1. Bereich: 0  z1  a 2. Bereich: 0  z2  a FL2 G z2 y2 FGH = 0 FQ2 Mb2 S2 FGV = qa 2 3. Bereich: 0  z3  a y3 FQ3 FL3 Mb3 S3 z3 a - z3 FC = - qa 2 C FL1 qz1 z1 y1 FQ1 Mb1 S1 FAH = 0 FAV = qa 2 A Für die grafische Darstellung der Schnittgrößen ist die Kenntnis von Ort und Größe des Extremwertes des Biegemomentenverlaufs (quadratische Funktion) im 1. Bereich nützlich. Analog zur Berechnung des Extremwertes im Beispiel 1.17 folgt: Ort: Extremwert: Die grafische Darstellung der analytischen Schnittgrößenverläufe in den drei Bereichen (siehe Tabelle 1.3) erfolgt auf der nächsten Seite. ? Ende

? Schnittgrößenverläufe: FL - Verlauf FQ - Verlauf Mb - Verlauf Ende q
qa z1 y1 z2 y2 z3 y3 Bild Schnittgrößen für den Gerberträger FL - Verlauf FL = 0 + qa FQ - Verlauf - D z1D + - 1 2 qa2 Mb - Verlauf 1 8 qa2 ? Ende

1.7 Zentrales räumliches Kraftsystem
Bei der Lösung praktischer Probleme wird man nicht immer mit einem ebenen Modell auskom-men, sondern muss gegebenenfalls die dreidimensionale Ausdehnung des Tragwerkes sowie die in beliebiger Raumrichtung wirkenden Kräfte und Momente berücksichtigen, um eine kor-rekte Lösung zu erhalten. Die Lösung räumlicher Probleme erfordert ein räumliches Vorstellungsvermögen und einen höheren Rechenaufwand, erfolgt aber prinzipiell mit den gleichen Methoden, die wir schon in den vorangegangenen Kapiteln kennen gelernt haben. Definition: Eine räumlich angeordnete Gruppe von Kräften (nicht in einer Ebene liegend) heißt zentrales räumliches Kraftsystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Es ist die Verallgemeinerung des ebenen zentralen Kraftsystems. Die Erkenntnisse aus dem ebenen zentralen Kraftsystem über die Bildung der resultierenden Kraft und über die Kraftzerlegung gelten auch hier, wenn die neu hinzukommende dritte Koordinaten-richtung beachtet wird. Bild Koordinatensystem z y Bezugssystem: Die räumliche Anordnung der Kräfte wird im Allgemeinen in einem räumlichen kartesischen (x,y,z)-Koordinaten-system beschrieben, wobei die Achsen in der Reihenfolge x-y-z ein Rechtssystem bilden sollen (Bild 1.77). x ? Ende

1.7.1 Ermittlung der Resultierenden
Grafische Lösung Die grafische Ermittlung der Resultierenden aus n Kräften durch Zeichnen eines räumlichen Kraftecks ist prinzipiell möglich, aber nicht praktikabel und wird deshalb hier nicht weiter beschrieben. x y z Bild Komponenten einer Kraft Fi Fiz Analytische Lösung Grundidee: Zerlegung der Kräfte Fi in jeweils 3 Komponenten. a g b Fi Beachte: Eine Kraft im Raum lässt sich eindeutig nur in drei Richtungen zerlegen, wenn diese nicht in einer Ebene liegen. Fix Es gilt: Fix = Fi cos a Fiy Fiy = Fi cos b Fiz = Fi cos g (1.26) und wegen cos2a + cos2a + cos2a = 1 auch umgekehrt (1.27)  Allgemein gilt bei n Kräften als Verallgemeinerung des ebenen Falles für die resultierenden Komponenten in x-, y- und z-Richtung und für die Resultierende FR: (1.28) ? Ende

1.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe
Eine zentrale räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist (FR = 0). Eine Resultierende ist Null, wenn jede der drei Komponenten der Resultierenden Null ist. Analytisch wird der Gleichgewichtszustand mit Gleichung (1.28) durch die folgenden drei Gleichgewichtsbedingungen beschrieben: (1.29) Beachte: Da das Gleichgewicht in jeder beliebigen Richtung aufgeschrieben werden kann, gibt es unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Von diesen sind jedoch nur drei linear unabhängig, so dass daraus nur drei Unbekannte berechnet werden können. Weitere Gleichungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. ? Ende

Beispiel 1.21 Stabkräfte in einem räumlichen Stabdreischlag (Dreibock)
3 x y z b) , b) Komponenten der Kräfte FS2 F FS1 FS3 Bild a) Schnittskizze nach dem Knotenschnitt a) F 45° Knotenschnitt FS3 45° FS1 45° FS2 Bild Dreibock Gesucht: FS1, FS2, FS3 Gegeben: F, a Annahme: Die Gelenke sind reibungsfreie Kugelgelenke. Das Aufschreiben der drei Gleichgewichtsbedingungen (1.29) ergibt (vgl. Bild 1.80 b): :  FS3 = - F (Druckstab)  FS1 = - F (Druckstab)  FS2 = F (Zugstab) ? Ende

1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem
Definition: Eine Kräftegruppe im Raum, deren Wirkungslinien (WL) keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, bezeichnen wir als allgemeines räumliches Kraftsystem. Es ist die Verallgemeinerung des allgemeinen ebenen Kraftsystems l  x=l cos y=l sin • Fz WL z x y Moment einer zur z-Achse parallelen Kraft bezüglich des Koordinatenursprungs Bild Moment der Kraft Fz bezüglich 0 Wir berechnen das Moment der Kraft Fz bezüglich des Koordinaten-ursprungs 0 aus dem Versetzungsmoment (siehe Kapitel 1.3.3) der Kraft, welches beim Versetzen von der Wirkungslinie WL auf die parallele Wirkungslinie (z-Achse) durch den Punkt 0 entsteht. Der Betrag des Versetzungsmomentes M0 wird: M0sina M0cosa M0  mit l ... Lot von 0 auf WL von Fz M0 = Fz  l M0 steht senkrecht auf der von Fz und l aufgespannten Fläche und liegt damit parallel zur (x,y)-Ebene. Die Komponenten von M0 in x-, y- und z-Richtung (positiv in Koordinatenrichtung), die identisch dem Momenten der Kraft Fz bezüglich der Achsen x, y, z sind, lauten: M0x = M0 sin  = Fzl sin  = Fzy M0y = - M0 cos = - Fzl cos  = - Fzx M0z = 0 Beachte: Das Moment einer Kraft bezüglich einer zu ihrer WL parallelen Achse ist gleich Null. Hier ist dies die z-Achse und deshalb ist M0z =0. ? Ende

Moment einer beliebig orientierten Kraft bezüglich des Koordinatenursprungs
Das Moment der Kraft bezüglich des Punktes 0 ist das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) aus dem so genannten Ortsvektor und dem Kraftvektor (vgl. Bild 1.82) (1.30) Mit den Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen lässt sich das Vektorprodukt (1.30) auch in Form einer Determinante darstellen: (1.31) Berechnen wir die Determinante, so lautet das Ergebnis für : (1.32) bzw. mit den Komponenten M0ix, M0iy, und M0iz von in x-, y- und z-Richtung (1.33) (1.34) Mit dem räumlichen Pythagoras wird der Betrag von : ? Ende

Fiz z Fi Fix Fiy ri M0iz zi y M0iy x M0ix xi yi
Neben der formellen Berechnung aus der Vektor-gleichung, kann das Moment der Kraft auch nach den folgenden Überlegungen ermittelt werden. yi xi zi Fi x y z ri Fiy Fiz Fix Satz: Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes 0 ist gleich der Summe der Moment der Kraft-komponenten bezüglich dieses Punktes. Hinweis: Das Moment der Kraftkomponente Fiz entspricht genau dem Spezialfall auf Seite 114. M0iz Die Komponenten von in x-, y- und z-Richtung (positiv in Koordinatenrichtung), die identisch den Momenten der Kraft bzw. seiner Komponenten bezüglich der Achsen x, y, z durch den Punkt 0 sind, ergeben sich aus den folgenden Äquvalenz-betrachtungen (vgl. Bild 1.82). M0iy M0ix Bild Moment einer beliebigen Kraft Fi bezüglich des Punktes 0 M0iz = - Fix yi + Fiy xi (1.35) M0ix = - Fiy zi + Fiz yi M0iy = - Fiz xi + Fix zi Natürlich sind diese Ergebnisse für die Komponenten von mit denen in (1.32) identisch. ? Ende

1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten
Bei der Zusammensetzung von Kräften eines allgemeinen räumlichen Kraftsystems (wobei auch Momente, die als Kräftepaar angesehen werden könnten, vorhanden sein dürfen) erhalten wir im Allgemeinen eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment. Das resultierende Moment entsteht infolge der Momente der Kräfte in bezug auf den gewählten Bezugspunkt (siehe eine Seite zurück), in den wir alle Kräfte parallel verschieben, um zur Bildung der resultierenden Kraft ein zentrales räumliches Kraftsystem zu erhalten. Für die resultierende Kraft FR gelten dann die Formeln des zentralen räumlichen Kraftsys-tems (vgl. Kapitel 1.7.1, Gleichung (1.28)). Für die Wirkungslinie der Resultierenden gilt der folgende Hinweis. Hinweis: Die Wirkungslinie der resultierenden Kraft FR eines allgemeinen räumlichen Kraftsys-tems verläuft durch den gewählten Bezugspunkt „0“, auf den das resultierende Moment M0R (siehe Gleichung (1.36)) bezogen wird. Die Komponenten des resultierenden Momentes M0R berechnen wir nach (1.32) bzw. (1.35) als Summe der Komponenten der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf den gewählten Bezugspunkt „0“. Es ergibt sich: (1.36) Hinweis: Die Momentensumme in (1.36) kann sich aus der Summe der Momente von Kräften Fi und aus Einzelmomenten Mi zusammensetzen. ? Ende

1.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente
Satz: Ein allgemeines räumliches Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment M0R für einen beliebigen Bezugspunkt „0“ gleich Null sind. Daraus ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen des allgemeinen räumlichen Kraftsystems zu (1.37) (1.38) Beachte: Da von den unendlich vielen Gleichgewichtsbedingungen, die an einem starren Körper aufgeschrieben werden können, nur sechs linear unabhängig sind, lassen sich daraus nur sechs Unbekannte berechnen. ? Ende

1.8.3 Räumlich gestützter Körper
Ein ungebundener starrer Körper hat im Raum sechs unabhängige Bewegungsmöglichkeiten (3 Translationen, 3 Rotationen). Der Freiheitsgrad beträgt somit f = 6 (siehe Bild 1.83). f = 6 f = 0 statisch bestimmte Lagerung ungebundener starrer Körper mit 6 Bewegungsmöglichkeiten Bild Freiheitsgrad und statisch bestimmte Lagerung eines starren Körpers im Raum Für eine statisch bestimmte Lagerung müssen diese Bewegungsmöglichkeiten verhindert werden, so dass f=0 gilt. Dazu dienen ein- bis sechswertige Lager, d. h. Lager, die eine oder maximal sogar sechs Bewegungsmöglichkeiten an einem Punkt verhindern. So ist z. B. der im Bild 1.83 rechts dargestellte Körper durch sechs Stabstützen statisch bestimmt gelagert. ? Ende

? Auswahl räumlicher Lager Stabstütze (Pendellager):
Die Lagerung erfolgt durch einen Stützstab, der mit dem Körper und der Umgebung gelenkig verbunden ist (Bild 1.84 und Bild 1.83). Der Stab nimmt nur eine Kraft in der Längs-richtung auf. Es handelt sich also um ein einwertiges Lager. Bild Räumliche Stabstütze Räumliches Loslager: Das Loslager (Bild 1.85) ist gelenkig mit dem Körper verbunden und kann reibungsfrei auf der Lagerfläche gleiten. Eine Kraftaufnahme ist nur normal zu dieser Fläche möglich. Es handelt sich also ebenfalls um ein einwertiges Lager. Bild Räumliches Loslager Räumliches Festlager: Im Unterschied zum Loslager ist das Festlager (Bild 1.86) starr mit der Umgebung verbunden. Es nimmt deshalb Kräfte in beliebiger Richtung (bzw. in drei vorgegebene Richtun-gen) auf. Es handelt sich damit um ein dreiwertiges Lager. Bild Räumliches Festlager Räumliche Einspannung: Der Träger (Bild 1.87) so mit der Umgebung verbunden, das Kräfte und Momente in beliebiger Richtung (bzw. in drei vorgegebenen Richtungen) aufgenommen werden können. Die räumliche Einspannung ist also ein sechswertiges Lager. Bild Räumliche Einspannung ? Ende

Beispiel 1.22 Abgewinkelter Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung
Ein räumlich abgewinkelter Träger ist durch ein Festlager (b = 3), ein Loslager (b = 1) und zwei Stützstäbe (beide zusammen b = 2) gelagert ist (Bild 1.88). Die insgesamt b = 6 Bindungen fixieren den Träger eindeutig, so dass f = 0 gilt. x y z a A C F1=qa F2=2qa 2 B D Bild Schnittskizze mit Lagerreaktionen für einen abge-winkelten Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung A C 2a F1=qa q F2=2qa 1 2 a B FR=2qa FS1 FS2 FAx FAy FAz FB Bild Abgewinkelter Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung Zur Ermittlung der Lagerreaktionen schneiden wir den Trägern von den Auflagern frei und tragen die Lagerreaktionen an (Bild 1.89). Aus sechs Gleichgewichtsbedingungen folgt: Hinweis: Schreibt man die Gleichge-wichtsbedingungen in geigneter Reihen-folge auf, so lassen sich häufig die Un-bekannten der Reihe nach berechnen, ohne das ein Gleichungssystem gelöst werden muss. ? Ende

? Zur Kontrolle bilden wir noch
und erkennen, dass die Kontrollgleichung identisch erfüllt ist. Hinweis: Kraftgleichgewichtsbedingungen können auch durch Momentengleichgewichts-bedingungen ersetzt werden, wodurch sich oft die Lösungen für einzelne Lagerreaktionen unabhängig voneinander ergeben. Bei dem oben behandelten Beispiel 1.22 könnten für die letzten zwei Gleichgewichtsbe-dingungen z. B. aufgeschrieben werden (vgl. Bild 1.89), aus denen dann unabhängig von anderen Lager-reaktionen die Lagerreaktionen FAy und FB folgen würden. D : und Achse AC : ? Ende

1.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken
Definition der räumlichen Schnittgrößen Als Bezugssystem für die Definition der räumlichen Schnittgrößen verwenden wir ein kartesisches (x,y,z)-Koordinatensystem (Rechtssystem), wobei wir die z-Achse wieder in Richtung der Balkenlängsachse (Verbindungsgerade aller Querschnittsschwerpunkte) legen (vgl. Kapitel 1.6.1). Analog zur räumlichen Einspannung kommen zu den drei Schnittgrößen des eben belasteten Balkens (FL, FQy und Mbx, vgl. Kapitel 1.6.1) noch drei neue Schnittgrößen (FQx, Mby und Mt) hinzu, so dass sich insgesamt sechs Schnittgrößen (siehe Bild 1.90) ergeben, die im Allgemeinen Fall eine Funktion von z sind. Mt Mbx FQx Mby FQy FL FL Mt FQx FQy Mby Mbx x y z positives Schnittufer negatives Schnittufer Bild Definition der positiven räumlichen Schnittgrößen Auf der folgenden Seite werden die positive Definition sämtlicher Schnittgrößen angegeben, wobei die bereits am ebenen Balken (vgl. Kapitel 1.6.1) eingeführten Schnittgrößen nochmals wiederholt werden. ? Ende

FL - Längskraft (oft auch als Normalkraft FN bezeichnet) positiv am positiven Schnittufer in positiver z-Richtung. FQy - Querkraft: positiv am positiven Schnittufer in positiver y-Richtung. FQx - Querkraft: positiv am positiven Schnittufer in positiver x-Richtung. Mbx - Biegemoment um eine zur x-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver x-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die x-Richtung. Mby - Biegemoment um eine zur y-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in negativer y-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die negative y-Richtung. Mt - Torsionsmoment um eine zur z-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver z-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die positive z- Richtung. Beachte: Am positiven Schnittufer stimmt der positive Richtungssinn der Schnittgrößen mit Ausnahme von Mby mit dem positiven Richtungssinn der Koordinatenachsen überein. Die oben angegebene weit verbreitete Definition der Schnittgrößen sichert, dass am positiven Schnittufer sämtliche Schnittkräfte und das Torsionsmoment in positive Koordinatenrichtung weisen und positive Biegemomente die Balkenunterseiten (das sind die Seiten, die einen positiven Abstand vom Schwerpunkt haben) dehnen. Hinweis: Natürlich sind auch alternative Definitionen möglich (vgl. Hinweis Seite 89). ? Ende

Beispiel 1.23 Eingespannter räumlicher Kragträger
q F1 F2 b a Der Kragträger in Bild 1.91 besteht aus zwei Bereichen, für die wir die beiden Bezugssysteme (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) zur Beschreibung der Schnittgrößenverläufe einführen. x2 y2 z2 x1 y1 z1 Zur Ermittlung der Schnittgrößen schneiden wir den Träger zweimal und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen jeweils für das rechte Teilsystem auf (Ergebnisse siehe Tabelle 1.4). Bild Räumlicher Kragträger Dadurch vermeiden wir die vorherige Ermittlung der Lagerreaktionen. Im Bedarfsfall können diese später direkt aus den Schnittgrößenverläufen ermittelt werden (vgl. Beispiel 1.19). Tabelle 1.4 Schnittgrößen für den eingespannten räumlichen Kragträger (Bild 1.91) 1. Bereich: 0  z1  b 2. Bereich: 0  z2  a x2 y2 z2 S2 F2 q F1 b Mby2 Mt2 Mbx2 FQx2 FQy2 FL2 Mt1 Mbx1 FQx1 FQy1 FL1 Mby1 F2 q x1 y1 z1 S1 FL1 = -F2 Mbx1 = -0,5qz12 FQx1 = 0 Mby1 = 0 FQy1 = -qz1 Mt1 = 0 FL2 = -F2 Mbx2 = -qb(0,5b+z2) FQx2 = F1 Mby2 = F1z2 FQy2 = -qb Mt2 = 0 ? Ende

? Darstellung der Schnittgrößenverläufe nach Tabelle 1.4: FL
q F1 F2 b a x1 y1 z1 x2 y2 z2 F2 - FL FL - Verlauf qb - FQy F1 + FQx FQ - Verlauf - 0,5qb2 qb(0,5b+a) Mbx F1a + Mby Mb - Verlauf Mt Mt = 0 Mt - Verlauf Bild Schnittgrößenverläufe für den räumlichen Kragträger (Bild 1.91) ? Ende

1.9 Schwerpunkt 1.9.1 Massenschwerpunkt  - Dichte des Materials ?
Der Schwerpunkt S (Massenmittelpunkt) eines Körpers ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft FG des Körpers. y z x g Körper Bild Schwerpunkt eines starren Körpers g·dm y x z dm, dV Annahmen: Der Körper sei im Vergleich zur Erde klein. Das bedeutet, die Erdbeschleunigung g ist im Körper konstant und alle Massenkräfte verlaufen parallel. FG xS yS zS S m - Masse des Körpers dm - differentielles Massenelement V - Volumen des Körpers dV - differentielles Volumenelement  - Dichte des Materials g - Erdbeschleunigung Es bedeuten: Äquivalenzbetrachtungen für die Kräfte in z-Richtung und für die Momente um die x- und die y-Achse liefern Gleichungen zur Berechnung der geometrischen Lage (xS, yS) von S. Es folgt (vgl. Bild 1.93): (1.39) ? Ende

   1.9.2 Volumenschwerpunkt ? (1.40) (1.41)
Dreht man den Körper in Bild 1.93 einschließlich des Koordinatensystems um einen Winkel von 90° um die x-Achse, so zeigt die Gewichtskraft FG und die differentielle Gewichtskraft gdm in die negative y-Richtung. Aus dem Momentengleichgewicht um die x-Achse folgt dann: (1.42)  1.9.2 Volumenschwerpunkt Hat der Körper eine konstante Dichte r, bezeichnet man ihn als homogen. dm =  dV m = V Es gilt dann mit: (1.43) Beachte: Der Schwerpunkt ist in diesem Fall eine rein geometrische Größe. Er wird deshalb auch Volumschwerpunkt genannt. Hinweis: Integrale vom Typ und , wie sie in (1.40) bis (1.43) vorkommen, werden statische Momente genannt. ? Ende

1.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen
Aus der 1. Gleichung von (1.43) für den Volumenschwer-punkt homogener Körper folgt für eine dünne homogene Scheibe der Fläche A mit konstanter Dicke h (h  0) und mit dV = hdA und V = hA (siehe Bild 1.94) Bild Flächenschwerpunkt Fläche A x y dA x y S xS yS Ein analoges Ergebnis erhalten wir für yS aus der zweiten Gleichung von (1.43). (1.44) Damit lauten die Koordinaten des Flächenschwerpunktes: Die in den Gleichungen (1.44) auftretenden Flächenintegrale werden als statische Momente der Fläche A bezüglich der x-Achse (Sx) bzw. der y-Achse (Sy) bezeichnet: (1.45) (statische Momente) ? Ende

Beispiel 1.24 Flächenschwerpunkt einer Halbkreisfläche
Damit lassen sich die Gleichungen (1.44) für den Flächenschwerpunkt wie folgt schreiben: und Wird das Bezugskoordinatensystemsystem genau in den Flächenschwerpunkt S gelegt, so gilt xs = ys = 0, woraus Sx = Sy = 0 folgt. Satz: Das statische Moment bezüglich einer Achse durch den Flächenschwerpunkt ist gleich Null. x y R Bild Schwerpunkt einer Halbkreisfläche Beispiel Flächenschwerpunkt einer Halbkreisfläche Mit x y dA=r·d·dr  dr d r erhalten wir aus den Gleichungen (1.44) für die Schwerpunktskoordinaten S yS Beachte: Das Ergebnis xS = 0 war aus Gründen der Symmetrie zu erwarten! sowie ? Ende

1.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien
Aus der 1. Gleichung von (1.43) für den Volumen-schwerpunkt homogener Körper folgt für einen sehr dünnen linienförmigen Körper der Länge l mit einer sehr kleinen, konstanten Querschnittsfläche A (A ® 0) und mit dV = Ads und V = Al (siehe Bild 1.96) Linie der Länge l x y s ds x y S xS yS Ein analoges Ergebnis erhalten wir für yS und zS aus der zweiten und dritten Gleichung von (1.43). Bild Linienschwerpunkt Damit lauten die Schwerpunktkoordinaten einer ebenen Linie: (1.46) ? Ende

1.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde
Ist ein Gebilde (Körper, Fläche oder Linie) aus einer endlichen Anzahl einzelnen Bestandteilen zusammengesetzt, für die die Koordinaten der Schwerpunkte bekannt sind, dann kann der Schwerpunkt des Gesamtsystems durch Summation über die Bestandteile ermittelt werden (Ausschnitte lassen sich mit negativem Vorzeichen der ausgeschnittenen Volumen, Flächen oder Linien in den Formeln berücksichtigen). So gilt z. B. für den Flächenschwerpunkt einer aus n Teilflächen bestehenden ebenen Fläche: (1.47) ? Ende

1.9.6 Hinweise zur Berechnung von Schwerpunkten
Hat das zu berechnende Gebilde (Körper, Fläche oder Linie) eine Symmetrieachse, so liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse. Wenn zwei Symmetrieachsen vorhanden sind, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen. Statische Momente in Bezug auf Symmetrieachsen sind stets Null. Der Massenmittelpunkt wird vorrangig in der Statik und in der Dynamik als Angriffspunkt der Gewichtskraft und von Trägheitskräften und Trägheitsmomenten benötigt. Der Volumenschwerpunkt hat Bedeutung für die Vereinfachung von homogenen Körpern. Den Flächenschwerpunkt benötigen wir in der Festigkeitslehre zur Festlegung eines Bezugssystems zur Berechnung von Querschnittskennwerten, die wiederum für die Berechnungen von Spannungen- und Verformungen benötigt werden. Der Linienschwerpunkt hat Bedeutung bei der Berechnung dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte sowie beim Stanzen und Abscheren von Blechen. So wird beispielsweise dann ein gutes Stanzergebnis erzielt, wenn die Belastung durch das Werkzeug im Linienschwerpunkt der zu stanzenden Kontur wirkt. Hinweis: Bei räumlich gekrümmten Flächen bzw. Linien lässt sich die zs-Koordinate aus berechnen, die die Gleichungen (1.44) bzw. (1.46) ergänzen. bzw. ? Ende

1.10 Flächenträgheitsmomente
Definition der Flächenträgheitsmomente Die Flächenträgheitsmomente sind in der Festigkeitslehre benötigte Größen (Integrale), die bei der Berechnung von Spannungen und Verformungen benötigt werden. Die Flächenträg-heitsmomente hängen nur von der Form und der Größe des Querschnitts und der Lage des Bezugssystems ab. Axiale Flächenträgheitsmomente Bild 1.97 x y Fläche A Die axialen Flächenträgheitsmomente Ixx und Iyy bezogen auf die x-Achse bzw. auf die y-Achse sind folgendermaßen definiert (vgl. Bild 1.97): x y r dA (1.48) (1.49) Hinweis: Die axialen Flächenträgheitsmomente werden auch äquatoriale Trägheitsmomente genannt. ? Ende

? Zentrifugal- oder Deviationsmoment
Das Zentrifugalmoment Ixy, das teilweise auch als Deviationsmoment bezeichnet wird, ist folgendermaßen definiert (vgl. Bild 1.97): (1.50) Polares Flächenträgheitsmoment Das polare Flächenträgheitsmoment Ip ist definiert als (vgl. Bild 1.97) (1.51) Es kann mit r2 = x2 + y2 durch die axialen Trägheitsmomente ausgedrückt werden: ? Ende

? Allgemein gilt für die Flächenträgheitsmomente:
Die Flächenträgheitsmomente haben die Einheit [mm4]. Die axialen Flächenträgheitsmomente und folglich das polare Flächenträgheitsmoment sind stets größer als Null. Das Deviationsmoment kann größer, kleiner oder gleich Null sein. Merke: Der Richtungssinn der Koordinatenachsen hat nur auf das Vorzeichen des Zentrifugalmomentes Ixy einen Einfluss. Aus der Anschauung folgt: Ist eine Achse eine Symmetrieachse, so ist das Zentrifugal-moment Null, da zu jedem positiven Wert (x,y) auch ein gleich großer negativer Wert gehört. ? Ende

Satz von STEINER Wir wollen die Flächenträgheitsmomente bezogen auf ein Koordinatensystem berechnen, das gegenüber dem ursprünglichen (x,y)-Koordinatensystem, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S der Fläche A liegen soll, parallel verschoben ist. x y Fläche A S Bild Bezugssystem für den STEINERschen Satz xS yS x y dA x y y x xS yS Setzen wir die Koordinatentransformationen und in die für das quergestrichene Koordinatensystem auf-geschriebenen Definitionsgleichungen der Flächenträg-heitsmomente (1.48) bis (1.50) ein, so folgt für die auf das System bezogenen Flächenträgheitsmomente ? Ende

Die statischen Momente Sx und Sy in den obigen Gleichungen sind Null, weil das (x,y)-Koordinatensystem laut unserer Annahme seinen Ursprung im Schwerpunkt S der Fläche hat (vgl. Kapitel 1.9.3, Seite 130). Damit ergeben sich als Transformationsgleichungen für die Flächenträgheitsmomente zwischen den parallelen Koordinatensystemen die als STEINERscher Satz bezeichneten drei Gleichungen: Steinerscher Satz (1.52) Beachte: Der STEINERsche Satz gilt nur für die Transformation zwischen Schwerpunkt-achsen und dazu parallele Achsen. Beachte: Von allen Trägheitsmomenten bezüglich paralleler Achsen ist das auf die Achse durch den Schwerpunkt S bezogene Trägheitsmoment am kleinsten. ? Ende

Beispiel 1.25 Flächenträgheitsmomente einer Rechteckfläche
Zunächst wollen wir die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das Schwerpunktkoordinatensystem (x,y) berechnen. Aus den Gleichungen (1.48) und (1.49) erhalten wir die axialen Flächen-trägheitsmomente zu: y x b S h dy dAy = b·dy y dAx = h·dx x dx Bild Rechteckfläche Beachte: Wegen der Symmetrie zu x und y folgt: Ixy= 0 Die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das Koordinatensystem erhalten wir aus dem STEINERschen Satz (1.52). Mit folgt: ? Ende

Flächenträgheitsmomente
Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen Hinweis: Für typische Flächen, insbesondere auch für die Querschnittsflächen von Norm-profilen, findet man Formeln und Zahlenergebnisse für die Trägheitsmomente in Zahlentabellen und Nachschlagewerken. Tabelle 1.5 Flächenträgheitsmomente für Rechteck, Kreis, Kreisring und Dreieck Querschnittsfläche Flächenträgheitsmomente b S a y x Rechteck: x y r d S Kreis: y D x S d Kreisring: b y x S b/3 a/3 a Dreieck: ? Ende

1.10.4 Hauptträgheitsmomente
Wir untersuchen, wie sich die Flächenträgheitsmomente ändern, wenn das Bezugskoordinaten-system um den Winkel j gedreht wird und bestimmen den Winkel, unter dem die Flächen-trägheitsmomente einen Extremwert, d. h. ein Maximum bzw. ein Minimum, annehmen. Die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente werden als Hauptträgheitsmomente bezeich-net. Die dazugehörigen Koordinatenachsen heißen Hauptträgheitsachsen. Vorgehen: Drehung des Koordinatensystems um den Winkel  und Transformation der Träg-heitsmomente auf das neue (,)-Koordinaten-system. Wir erhalten I, I und I in Abhän-gigkeit vom Winkel  und von Ixx , Iyy , Ixy. x y Fläche A Bild Transformation vom (x,y)-System auf ein (x,h)-Koordinatensystem    dA y x xcos ycos xsin ysin    Die Extremwertbedingungen an die Funktionen Ixx(j), Ihh(j) und Ixh(j) liefern dann die Haupt-trägheitsmomente und den Winkel j, der die Lage der dazugehörigen Hauptträgheitsachsen beschreibt. Aus dem Bild lassen sich die folgenden Transformationsformeln ablesen:  = x·cos + y·sin (1.53)  = - x·sin + y·cos (1.54) ? Ende

Für die Flächenträgheitsmomomente bezogen auf das gedrehte -Koordinatensystem gilt (vgl. Kapitel ): Setzen wir zunächst in I die Transformationsformel (1.54) ein, so ergibt sich Mit den Definitionen der Flächenträgheitsmomente bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem (siehe Gleichungen (1.48) bis (1.50)) und den bekannten trigonometrischen Beziehungen folgt (1.55) Auf analogem Weg erhält man die folgen Formeln für I und I (1.56) (1.57) ? Ende

? Bestimmung der Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen
Wir wollen zunächst berechnen, für welchen Winkel j = j0 die axialen Flächenträgheits-momente Ixx(j) und Ihh(j) Extremwerte annehmen und wie groß diese werden. Die Extremwerte folgen aus den zwei Bedingungen bzw. (1.58) Aus der ersten Bedingung folgt mit Gleichung (1.55) und daraus erhalten wir den Winkel j0 zu (1.59) Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn analog die Extremalbedingung für Ihh(j) (zweite Bedingung von (1.58)) ausgeführt wird. Wegen der Periodizität der tan-Funktion ergeben sich aus der Gleichung (1.59) die zwei Lösungen (1.60) und ? Ende

Hinweis: Die Gleichung (1
Hinweis: Die Gleichung (1.59) für die Lage der extremen axialen Flächenträgheitsmomente kann durch Umformen von tan2j01 in tanj01 auch in folgender Form angegeben werden: (1.61) j01 x y   1   2 Bild Lage der Hauptträgheitsachsen Die durch j01 und j02 festgelegten Achsen, bezüglich der die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente, die so genannten Hauptträgheitsmomente I1 und I2, auftreten, stehen senkrecht aufeinander. Wir bezeichnen diese Achsen als Hauptträgheitsachsen „1“ und „2“ (siehe Bild 1.101). Setzen wir j01 und j02 in Ixx(j) und Ihh(j) ein, so folgen nach einiger Umformung die zu den Winkeln gehörenden Hauptträgheitsmomente (1.62) (1.63) Setzen wir die Winkel j01 und j02 in die Gleichung (1.57) für Ixh ein, so ergibt sich (1.64) Beachte: Das Zentrifugalmoment ist für die Hauptträgheitsachsen Null. ? Ende

? Extremwerte des Zentrifugalmomentes Ixh
Die Lage der Achsen für die Extremwerte des Zentrifugalmomentes Ixh, die um den Winkel j1 gegenüber dem Ursprungssystem gedreht sind, lässt sich analog wie die Lage der Haupt-trägheitsachsen berechnen. Aus der erste Ableitung von Gleichung (1.57) (1.65) folgt (1.66) Das Produkt der Gleichungen (1.66) und (1.59) liefert (1.67) Das bedeutet: Die Achsen der maximalen Zentrifugalmomente sind gegenüber den Achsen der Hauptträgheitsmomente um 45° gedreht. Die Extremwerte der Zentrifugalmomente erhalten wir durch Einsetzen von j1 in die Gleichung (1.57) zu ? Ende

1.10.5 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen
Aussage und Schlußfolgerungen Für Hauptträgheitsachsen ist das Zentrifugalmoment Null. Verschwindet für zwei senkrecht aufeinanderstehende Achsen das Zentrifugalmoment, so sind diese Hauptträgheitsachsenachsen. Ist eine Achsen eine Symmetrieachse der Fläche, so ist sie eine Hauptträgheitsachse. Ist der Koordinatenursprung der Schwerpunkt, so heißen die Hauptträgheitsachsen auch Hauptzentralachsen und die Hauptträgheitsmomente Hauptzentralmomente. Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen Satz: Flächenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINER-schen Satzes (siehe Kapitel , Gleichung (1.52)) und/oder der Transformationsformeln für eine Drehung des Koordinatensystems um den Winkel j (Gleichungen (1.55) bis (1.57)) auf einheitliche Koordinatenachsen umrechnen. Zur Veranschaulichung betrachten wir das in Bild (nächste Seite) dargestellte Beispiel. ? Ende

Zur Berechnung der Trägheitsmomente für die Gesamt-fläche A teilen wir diese in n Teilflächen Ai auf. xsi ysi yi S3= Si xi Teilfläche Ai = A3 x y Fläche A Bild Zusammengesetzte Fläche S4 A4 In unserem Beispiel ist die Anzahl der Teilflächen n = 4. A2 (negativ) S2 Wir nehmen an, dass die Schwerpunktskoordinaten-systeme (xi,yi) parallel zum globalen Koordinatensystem (x,y) liegen und dass für jede Teilfläche der Flächeninhalt Ai, die Lage des Teilschwerpunktes Si und die Flächen-trägheitsmomente , und bekannt seien. A1 S1 Es gilt dann: Hinweis 1: Löcher und Ausschnitte in der Fläche können durch negative Teilflächen und negative Teilflächenträgheitsmomente berücksichtigt werden. Im Bild muss die Teil-fläche A2 auf diese Weise wieder herausgerechnet werden, wenn die übrigen Teilflächen, so wie im Bild gezeigt, in die Rechnung eingehen. Hinweis 2: Das Bezugskoordinatensystem (x,y) kann beliebig gewählt werden und somit auch durch den Schwerpunkt der Gesamtfläche A gehen. In diesem Fall verschwindet das Deviationsmoment und braucht daher nicht erst berechnet zu werden. Hinweis 3: Bei komplizierten, aus vielen Teilflächen bestehenden Flächen empfiehlt sich eine systematische Rechnung in Tabellenform. ? Ende

1.11 Haftung und Gleitreibung
FN FT Beim Kontakt zweier starrer Körper (ebene oder „punkt-förmige“ Berührung) wird infolge der Belastungen der Körper eine resultierende Kraft FR übertragen, die in eine Normalkraft FN (senkrecht zur Kontaktfläche) und eine in der Kontaktfläche (tangential zur Oberfläche) liegende Tangentialkraft FT zerlegt werden kann (siehe Bild 1.103). Bild Kontakt zwischen starren Körpern Körper 1 Körper 2 rauhe Kontakt- fläche Schnitt Die Größe der in der Berührungsebene übertragbaren Kraft FT ist erfahrungsgemäß von der Größe der resultierenden Kraft, der Oberflächenbeschaffenheit (Rauhigkeit, Schmierung) der in Kontakt stehenden Körper und einer eventuellen Bewegung der Körper gegeneinander abhängig. Wir unterscheiden als wesentliche Fälle: Ideal glatte Kontaktfläche (reibungsfrei): Es gibt nur eine Normalkraft und keine Kraft in der Tangentialebene (idealer Grenzfall, der einem Loslager entspricht). Rauhe Kontaktfläche: Es kann eine Kraft in der Tangentialebene übertragen werden. Die Erfahrung zeigt, dass diese Kraft nicht beliebig groß werden kann. Bis zu einer bestimmten Größe der Tangentialkraft bleibt der Körper in Ruhe. Die beiden Körper haften aneinander, es herrscht Gleichgewicht und die Tangentialkraft bezeichnet man dann als Haftkraft. Übersteigt die Haftkraft einen bestimmten maximalen Wert, so kommt es in der Tangentialebene zu einer Bewegung der Körper gegeneinander. Die Körper gleiten aufeinander ab und die dabei in der Tangentialebene wirkende Kraft nennt man Gleitkraft. Die Gleitkraft ist kleiner als die Haftkraft (siehe dazu auch Kapitel ). ? Ende

1.11.1 Haftung (Zustand der Ruhe)
Wir wollen den Zustand der Haftung am Beispiel eines frei auf einer schiefen Ebene liegenden Körpers der Masse m betrachten. Annahme: Der Winkel a und die Oberflächenbe-schaffenheit des Materials in der Kontaktfläche seien so, daß der Körper auf der schiefen Ebene ruht. Es liegt ein Gleichgewichtszustand vor. m a g Kontakt-fläche Bild Kräfte in einer Kontaktfläche mg S a FH FN Folgerung: Die in der Kontaktfläche über- tragenen Kräfte FN (Normalkraft) und FH (Haftkraft) lassen sich aus Gleichgewichtsbedingungen am freigeschnittenen Körper berechnen. : FN - mg cosa = 0  Es wird: (1.68) : FH - mg sina = 0  (1.69) Feststellung: Wird a größer, so wächst die Haftkraft FH an. Bei einem bestimmten Grenz-winkel a = r0 beginnt der Körper zu rutschen, d.h. das Gleichgewicht kann durch die Haftkraft nicht mehr aufrechterhalten werden.  Die Haftkraft hat eine obere Grenze FHmax. Eliminiert man aus den Gleichungen (1.68) und (1.69) die Größe mg und setzt für a = r0 und für FH = FHmax ein, so ergibt sich mit (1.70) (0 ist der Haftungskoeffizient) ? Ende

Dieses Ergebnis für FHmax und m0 nach Gleichung (1
Dieses Ergebnis für FHmax und m0 nach Gleichung (1.70) gilt nach COULOMB auch für Körper, auf die neben dem Eigengewicht weitere Belastungen wirken. COULOMBsche Haftungsgesetz: | FHmax | = 0 FN (1.71) Der Betrag der maximale Haftkraft zwischen sich berührenden Flächen ist der wirkenden Normalkraft (Druckkraft) proportional. Proportionalitätsfaktor ist der Haftungskoeffizient 0. Hinweis: Der Haftungskoeffizient 0 hängt in erster Linie von der Materialpaarung und der Oberflächenbeschaffenheit (Rauheit, Schmierung) ab. Aber auch Temperatur und die Größe der Normalkraft beeinflussen 0. Deshalb: Vorsicht bei Entnahme von Haftungskoeffizienten aus Tabellenwerken. Im Zweifels-fall kann 0 durch experimentelle Bestimmung von a = r0 für den Grenzfalls des Gleichge-wichts einer Masse auf der schiefen Ebene (vgl. Einführungsbeispiel auf der vorherigen Seite) aus 0 = tanr0 bestimmt werden. Wichtig: Das COULOMBsche Haftungsgesetz liefert nur die maximal mögliche Haftkraft. Die tatsächliche Haftkraft ist immer aus Gleichgewichtsbetrachtungen zu ermitteln. Sie ist eine typische Reaktionskraft wie die bereits bekannten Lagerreaktionen, jedoch mit einer wesentlich kleineren Grenzlast (Last bei der das Lager versagt bzw. kaputt geht!). Die Haftkraft muss bei Annahme der Gültigkeit des COULOMBschen Gesetzes die Bedingung | FH |  FHmax = 0 FN erfüllen, ansonsten tritt eine Bewegung ein, und es gelten die Gesetze der Gleitreibung. (1.72) ? Ende

Haftungskegel Die in der Kontaktfläche zweier Körper übertragenen Kraftkom-ponenten FN und FH bilden eine resultierende Kontaktkraft FK, die mit der sich aus allen eingeprägten äußeren Belastungen ergebenden resultierenden Kraft FR im Gleichgewicht stehen muss. Die maximale Kontaktkraft FKmax, die im Gleichgewichts-fall übertragen werden kann, ergibt sich aus der maximalen Haftkraft FHmax und der Normalkraft FN (vgl. Bild 1.105). Mit der Richtung von FKmax wird ein Grenzwert für die Richtung der Resultierenden FR beschrieben, für den Gleichgewicht gerade noch möglich ist. Da resultierende Belastungen in allen Raumrichtungen vorkommen können, wird mit allen möglichen Richtungen von FKmax die Mantelfläche eines Kegels, des so genannten Haftungskegels, beschrieben. Die Achse des Haftungskegels liegt immer in Richtung der Normalkraft FN. FN FHmax r0 FR FKmax Bild Haftungskegel Schlussfolgerung und Bedeutung: Liegt die Wirkungslinie der Resultierenden FR (hohler Pfeil im Bild 1.105) aller eingeprägten Belastungen innerhalb des Haftungskegels mit dem Öffnungswinkel r0, so liegt Gleichgewicht, d. h. der Zustand der Ruhe, vor. Anderenfalls tritt Bewegung ein. Zur Bestimmung von r0 können wir aus Bild den folgenden Zusammenhang ablesen: und mit FHmax nach dem Haftungsgesetz (1.71) | FHmax | = 0 FN folgt (1.73) (vgl. mit Gleichung (1.70), Einführungsbeispiel) ? Ende

Beispiel 1.26 Bockleiter ohne Sicherung
a x F G A B h ½mg ½a FGH FGV a x F G B A h m0 Gesamt-masse m Bild Bockleiter ohne Sicherung mit Schnittbild FAH FAN FBN FBH Ziel: Ermittlung der Bedingungen für die Standsicherheit einer ungesicherten Bockleiter. Lösung: Berechnung der Haft- und Normalkräfte bei A und B aus den Gleichgewichts-bedingungen und Prüfen, welche Forderungen die Bedingung für das Haften |FH|  m0FN an die Belastung, die Geometrie bzw. den Haftungskoeffizienten stellt. An jedem Teilsystem können wir drei Gleichgewichtsbedingungen formulieren, aus denen sich schließlich die folgenden Auflagerkräfte ergeben: (1) ? Ende

Damit die Leiter bei A und B nicht wegrutscht, dürfen die vorhandenen Haftkräfte die jeweils maximal mögliche Haftkraft nicht überschreiten. Es müssen deshalb für die oben berechneten Haftkräfte FAH und FBH die folgenden Bedingungen erfüllt sein: Punkt A: (2) Punkt B: (3) Aus (2) und (3) erkennt man, dass gilt und da nach (1) FAH = FBH ist, wird zuerst bei B die maximale Haftkraft überschritten. Die Bedingung (3) am Punkt B muss somit für die Gewährleistung der Standsicherheit der Bockleiter erfüllt sein. Mit der Haftkraft FBH aus (1) folgt aus der Bedingung (3) bei B: (4) Ist eine der drei Größen (Belastung, Geometrie oder Haftungskoeffizienten) unbekannt, kann sie aus (4) ermittelt werden, so dass die Standsicherheit gewährleistet ist. Wir betrachten nachfolgend drei Fälle: a) x = a (die Leiter wird in der Mitte belastet): b) F = 0 (es wirkt nur das Eigengewicht der Leiter): c) mg = 0 (es wirkt nur die Kraft F): Hinweis: Die Lösung ist im Fall c) unabhängig von dem Angriffspunkt x der Kraft F. ? Ende

1.11.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung)
Kommt es bei einem Kontaktproblem zu einer Relativbewegung (Gleiten) in der Kontaktfläche, z. B. weil die Bedingung FH £ FHmax = m0FN nicht erfüllt ist, so wird in der Berührungsebene eine Kraft, die so genannte Gleitreibungskraft FR, übertragen, die der Relativbewegung einen Widerstand entgegensetzt (siehe Bild 1.107). m a F v (Abwärtsgleiten) v F mg S FR = mFN FN a Bild Kräfte in der Kontaktfläche beim Gleiten Annahme: Für viele praktische Fälle kann davon ausgegangen werden, daß die Gleitreibungs-kraft FR unabhängig von der Relativgeschwindigkeit v ist. Es gilt dann das COULOMBsche Gleitreibungsgesetz (1.74) wobei m der so genannte Gleitreibungskoeffizient ist, der von der Materialpaarung, der Ober-flächenbeschaffenheit, der Schmierung usw. abhängt und für den m < m0 gilt (vgl. Tabelle 1.6). Die Normalkraft FN wird als Druckkraft vorausgesetzt. Beachte: Die Gleitreibungskraft geht mit der Größe FR = mFN wie eine eingeprägte Kraft mit dem vorgegebenen Richtungssinn entgegen zur Relativbewegung (vgl. Bild 1.107) in die Rechnung ein. ? Ende

Haftungskoeffizient m0 Gleitreibungskoeffizient m
Anwendungen und Berechnungen, in der die Gleitreibungskraft zu berücksichtigen ist, werden wir im Kapitel 3 kennen lernen. Hinweis: Von der Geschwindigkeit v der Gleitbewegung abhängige Reibkräfte (z. B. aus dem Luftwiderstand, aus Strömungswiderständen usw.) werden hier nicht weiter betrachtet. In der nachfolgenden Tabelle 1.6 sind einige Richtwerte für den Gleitreibungskoeffizienten m und den Haftungskoeffizienten m0 angegeben. Tabelle 1.6 Richtwerte für Haftungskoeffizient m0 und Gleitreibungskoeffizient m Materialpaarung Haftungskoeffizient m0 Gleitreibungskoeffizient m trocken geschmiert Stahl auf Stahl 0, ,3 0, ,12 0, ,12 0, ,07 Stahl auf Grauguss 0, ,2 0, ,2 0, ,2 0, ,1 Stahl auf Bronze Grauguss auf Grauguss 0, ,3 0, ,15 0, ,25 0, ,1 Leder auf Metall 0, ,5 0,16 0,3 0,15 Holz auf Metall 0, ,7 0,11 0, ,5 0,10 Holz auf Holz 0, ,6 0, ,4 0,08 Gummi auf Asphalt 0, ,8 0, ,6 ? Ende

1.11.3 Seilhaftung und Seilreibung
Wir betrachten nur den praktisch wichtigsten und häufigsten Fall, dass ein Seil über einen Kreisbogen geführt wird. Der Umschlin- gungswinkel (Winkel in dem das Seil mit dem Kreisbogen Kontakt hat) sei a. Ist der Kreisbogen arretiert (oder im Falle einer Umlenk- rolle diese abgebremst oder angetrieben) und ist der Haftungsko- effizient zwischen Seil und Kreisbogen m0 ¹ 0, so sind die Seilkräfte FS1 und FS2 an den beiden freigeschnittenen Seilenden im Allge- meinen nicht mehr gleich groß (vgl. Bild 1.108). Die Seilkraft ändert dabei über den Kontaktbereich a ständig ihre Größe und Richtung, was zur Folge hat, dass sich damit auch die zwischen Seil und Kreisbogen übertragenen Kontaktkräfte in ihrer Größe und Richtung ändern. Deshalb ist es erforderlich, dass wir für die nachfolgende Untersuchung Betrachtungen an einem differentiellen Bogenstück anstellen. a j FS1 m0 FS2 Für m  0 gilt: FS1  FS2 Bild Seil auf Kreisbogen Seilhaftung Wir suchen die Grenzwerte für die Seilkräfte, bei denen kein Rut-schen des Seiles auf dem Kreisbogenstück eintritt. Dazu schneiden wir ein differentiell kleines Segment des Seiles frei. An den Schnitt-stellen des Seiles wird die Seilkraft FS mit Berücksichtigung einer differentiellen Zunahme am positiven Schnittufer angetragen. An der Schnittstelle zum Kreisbogen muss eine differentielle Normal-kraft dFN und die maximal mögliche Haftkraft als differentielle Größe dFHmax angetragen werden (siehe Bild 1.109).  d dFN dFHmax=0dFN FS FS+dFS ½d Bild Gleichgewicht am differentiellen Seilsegment ? Ende

  ? Mit der für kleine Winkel geltenden Näherung
folgt aus dem Kraftgleichgewicht in tangentialer und normaler Richtung zum Seil (vgl. Bild 1.109)  (1.75)  (1.76) Den Summanden 1/2dFSdj haben wir als klein von höherer Ordnung vernachlässigt. Setzen wir (1.75) in (1.76) ein, erhalten wir Die Integration über den Kontaktbereich des Seiles liefert (1.77) Die Gleichung (1.77) wird häufig auch als EYTELWEINsche Gleichung bezeichnet. Diese Gleichung bedarf noch einer weiteren Erläuterung (siehe folgende Seite). ? Ende

Für die vorausgesetzte Richtung der maximalen differentiellen Haftkräfte dFHmax (vgl. Bild 1.109) gilt nach Gleichung (1.77) immer FS2 > FS1. Damit ist FS2 die maximal mögliche Kraft für das statische Gleichgewicht, die sich aus (1.78) ergibt. Gleichgewicht ist aber auch möglich, wenn FS2 kleiner als FS1 wird. Das ist dann der Fall, wenn sich die Richtung der Haftkräfte dFHmax = m0dFN in Bild umkehren. Für die Kraft FS2 erhält man dann, wie man leicht durch Umkehrung der Richtung von dFHmax in den Gleichungen zur Herleitung der Gleichung (1.77) verfolgen kann, den Minimalwert für FS2, für den Gleichgewicht noch möglich ist zu (1.79) Für das statische Gleichgewicht (kein Rutschen des Seils) muss daher folgende Ungleichung erfüllt sein: (1.80) Typische Anwendungen, die den Unterschied in den Seilkräften FS2 und FS1 ausnutzen, sind z. B. das Vertäuen (Festmachen) von Schiffen an einem Poller, die Momentenübertragung bei Riementrieben (sowohl im Maschinenbau als auch in der Feinmechanik) und als Sonderfall die Bandbremse im Haltezustand (kein Rutschen, siehe folgendes Beispiel) usw. ? Ende

Beispiel 1.27 Bandbremse im Haltezustand
Bild Bandbremse (freigeschnitten) M0 B m0 FS2 FS1 F 2a a A C b sinb = a/2a b = p/6 a = p + b a = 7/6 p FAH FAV FBV FBH Gegeben: M0 = 200 N m, a = 20 cm m0 = 0,4 2a a F M0 A B C m0 Bild Bandbremse Gesucht: Wie groß muss F sein, damit die Bremsscheibe sich nicht dreht? Zur Lösung der Aufgabe schneiden wir zunächst die Bremsscheibe und den Hebel frei und tragen die Seil-kräfte und Lagerreaktionen an (Bild 1.111). Aus dem Momentengleichgewicht um den Punkt B der Bremsscheibe und den Punkt A des Bremshebels erhalten wir (1) (2) Mit (1) und (2) haben wir zunächst nur 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten FS1, FS2 und F. Wir wissen aber, dass zwischen den Bandkräften die Gleichung (1.78) (3) bei der vorgegebenen Drehrichtung von M0 gelten muss, wenn wir den Grenzfall zwischen Gleichgewicht und Rutschen untersuchen. ? Ende

Einsetzen von (3) und (2) in (1) und Auflösen nach F liefert die gesuchte Kraft F:
Falls das Moment M0 in entgegengesetzter Richtung wirkt, wird eine deutlich größere Haltekraft F benötigt, wie eine analoge Rechnung ergibt. Für diesen Fall lautet das Ergebnis Seilreibung a FS1 m FS2 Bewegung des Seiles Bild Seilreibung Für m  0 gilt: FS2 > FS1 Wir nehmen jetzt an, dass das Seil rutscht. In diesem Fall muss der Haftungskoeffizient m0 durch den Gleitreibungskoeffizient m ersetzt werden. (1.81) Es gilt dann Beachte: Der Umschlingungswinkel a zählt positiv in Richtung der Seilbewegung (vgl. Bild 1.112). ? Ende

Ende der Statik ? Ende

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