Graph Matching Torsten Gründel 03.11.2006.

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1 Graph Matching Torsten Gründel

2 Überblick Was ist Graph Matching Morphismen Allgeimeines
Graphisomorphismus Subgraphisomorphismus Eigenschaften

3 Überblick Kategorien von Matchingmethoden Exakte Matchingmethoden
Unexaktes Matching Matchingkosten Optimale & Suboptimale Inexakte Matchingalgorithmen Matchingmethoden

4 Überblick Subgraphalgorithmus von Ullmann Zusammenfassung Referenzen
Definitionen Einfacher Aufzählungsalgorithmus Verbesserte Prozedur Zusammenfassung Referenzen

5 1. Was ist Graph Matching? Rechenintensive Technik aus den späten 70ern „Graph Matching ist der Prozess, eine Korrespondenz zwischen Knoten und Kanten zweier Graphen zu finden, die (mehr oder weniger strikte) Bedingungen erfüllt und sicherstellt, dass gleiche Substrukturen eines Graphen auf gleiche Substrukturen des anderen Graphen abgebildet werden.“ Vielfältige Einsatzgebiete: 2D & 3D Bildanalyse Dokumentenverarbeitung Biometrische Identifizierung Bilddatenbanken Videoanalyse Biomedizinische und Biologische Anwendungen

6 2. Morphismen Allgemeines Graphisomorphismus Subgraphisomorphismus
Eigenschaften

7 2. Morphismen „Ein Morphismus ist eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Objekten des selben Typs, die die grundlegende Struktur der Objekte erhält.“ Hier: Abbildung zwischen den Knoten der Graphen G=(V,E) und G‘=(V‘,E‘), die die Kantenverbindungen erhält. Definition Graphenhomomorphisus (schwächste Form): Striktere Form: Graphmonomorphismus Hier müssen die Knotenabbildungen eindeutig sein

8 2. Morphismen Allgemeines Graphisomorphismus Subgraphisomorphismus
Eigenschaften

9 2.1 Graphisomorphismus Definition: Ein Graphenisomorphismus ist ein bijektiver Graphenhomomorphismus zwischen zwei Graphen G=(V,E) und G‘=(V‘,E‘) 4 A D B C E A D F(A) = 1 F(B) = 2 F(C) = 3 F(D) = 4 F(E) = 5 1 3 C 2 B E 5

10 2.1 Graphisomorphismus Definition: Ein Graphenisomorphismus ist ein bijektiver Graphenhomomorphismus zwischen zwei Graphen G=(V,E) und G‘=(V‘,E‘) 1 4 2 3 5 A A D B C E D F(A) = 2 F(B) = 1 F(C) = 3 F(D) = 5 F(E) = 4 C B E

11 2. Morphismen Allgemeines Graphisomorphismus Subgraphisomorphismus
Eigenschaften

12 2.2 Subgraphisomorphismus
Knoteninduzierter Subgraph: G‘=(V‘,E‘) ist Subgraph von G=(V,E) und Definition: Ein Subgraphisomorphismus ist ein Graphisomorphismus zwischen einem Graph G=(V,E) und einem knoteninduzierten Subgraph eines zweiten Graphen G‘=(V‘,E‘) 4 A A F(A) = 1 F(B) = 3 F(C) = 2 1 1 3 3 B B 2 2 C C 5

13 2.2 Subgraphisomorphismus
Knoteninduzierter Subgraph: G‘=(V‘,E‘) ist Subgraph von G=(V,E) und Definition: Ein Subgraphisomorphismus ist ein Graphisomorphismus zwischen einem Graph G=(V,E) und einem knoteninduzierten Subgraph eines zweiten Graphen G‘=(V‘,E‘) 4 A A F(A) = 1 F(B) = 3 F(C) = 4 1 3 B B 2 C C 5

14 2. Morphismen Allgemeines Graphisomorphismus Subgraphisomorphismus
Eigenschaften

15 2.5 Eigenschaften Graphisomorphismus: nicht bewiesen ob in NP
Alle Anderen: NP-Vollständig Polynomielle Algorithmen für spezielle Graphen existieren Rechenzeit heute akzeptabel, da Gesteigerte Rechenleistung Graphen in Praxis unterscheiden sich von „Worst Case Graphen“ Knoten- & Kanteneigenschaften reduzieren Suchzeiten

16 3. Graph Matching Methoden
Exaktes Matching Unexaktes Matching Matchingkosten Optimale & Suboptimale Inexakte Matchingalgorithmen Matchingmethoden

17 3.1 Exaktes Graph Matching
2 Matching anhand vorgestellter Morphismen Meist werden Bäume verwendet Suchstrategie (z.B. BFS, DFS) gibt Reihenfolge vor Grundidee: Partielles Matching (anfangs leer) iterativ um Matchingpaar erweitert A B 1 { } {(A,1)} {(A,2)} {(A,1), (B,1)} {(A,1), (B,2)} {(A,2), (B,1)} {(A,2), (B,2)}

18 3. Graph Matching Methoden
Exaktes Matching Unexaktes Matching Matchingkosten Optimale & Suboptimale Inexakte Matchingalgorithmen Matchingmethoden

19 3.2 Unexaktes Matching Gründe für Unexaktheit:
Nichtdeterministische Elemente sind enthalten Exaktes Matching ist zu teuer (Rechenzeit) Matching muss nicht kantenerhaltend sein Bestrafung durch zuweisen von Kosten bei Unterschieden Suche Matching mit minimalen Kosten Unterscheiden: Optimale Inexakte Matchingalgorithem Suboptimale Matchingalgorithmen

20 3.2.1 Matchingkosten Fehlerkorrektur oder Fehlertoleranz
Zuweisung von Kosten für jeden Fehler (z.B. fehlender Knoten) Vergleich der Graphen anhand der Kosten Graphenbearbeitungskosten (GbK) Zuweisung von Kosten für Graphenbearbeitungsoperationen GbK = billigste Sequenz von Operationen zur Transformierung von G in G‘ Graphenbearbeitungsabstand Graphenbearbeitungskosten erfüllen gewisse Bedingungen Operationen zur Transformierung als Maß für den Abstand zwischen Graphen Graphabstand (nur für Algorithmen in metrischen Räumen) Kostendefinition erfüllt Distanzfunktionseigenschaften Kosten sind Maß für die Ungleichheit von Graphen

21 3.2.2 Optimale & Suboptimale inexakte Matchingalgorithmen
Finden immer globales Minimum, also auch exakte Lösung wenn vorhanden Kommt mit Graphschwankungen zurecht Kostenintensiver als Exakte Algorithmen Eignen sich zur Lösung von Problemen wenn exakte Lösung erforderlich aber Graphschwankungen vorliegen Suboptimale Matchingalgorithmen Finden lokales Minimum Keine Garantie exakte Lösung zu finden, wenn vorhanden Normalerweise polynomielle Vergleichszeit Eignen sich, wenn Rechenzeit gespart werden soll

22 3.2.3 Matchingmethoden Baumsuche Kontinuierliche Optimierung
Heuristische Abschätzung der Matchingkosten für verbleibende Knoten Entfernen von unfruchtbaren Pfaden anhand Abschätzungen Kontinuierliche Optimierung Grundidee: Graphmatching umwandeln in kontinuierliches, nichtlineares OP Anwendung eines Optimierungsalgorithmus um Lösung zu finden Rücktransformierung in Graphmatching Domäne Polynomielle Rechenzeit (mit kleinem Exponenten) bzgl. Graphgröße Spektralmethoden Benutzt Eigenschaft, dass

23 4. Ullmanns Subgraphalgorithmus
Allgemeines Einfacher Aufzählalgorithmus Verbesserte Version Eigenschaften

24 4.1 Allgemeines Wahrscheinlich bekanntester Graphmatching Algorithmus
Anwendbar für Subgraphisomorphismus Graphisomorphismen Graphmonomorphismen MCS Maximum Clique Exakter DFS Baumsuchalgorithmus Findet Subgraphisomorphismen zwischen zwei Graphen und

25 4. Ullmanns Subgraphalgorithmus
Allgemeines Einfacher Aufzählalgorithmus Verbesserte Version Eigenschaften

26 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus
Benutzen Matrizen der Form: Einträge bestehen aus 0 und 1 Genau eine 1 in jeder Reihe Nicht mehr als eine 1 pro Spalte Matrizen dienen Zur Permutation von Adjazenzmatrizen Permutationsmatrix Falls , dann korrespondiert der j-te Knoten in zu dem i-ten Knoten in

27 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus (Beispiel Permutation)
1 2 4 3 1 3 2

28 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus
Vergleiche Resultierenden Graph mit Isomorphismus vorhanden falls Erstellung einer Startmatrix mit Generierung aller mit durch systematisches umändern von 1en in 0en Baum von Matrizen mit Terminierungsebene

29 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus (Generierung Startmatrix)
1 1 2 2 4 3 3

30 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus (Der Algorithmus)
Step 6: Speichere welche Zeile verwendet wurde und erhöhe die Zeilenanzahl um 1 Step 7: Backtracking Step 5: Überprüfe, ob es einen Eintrag weiter rechts in Matrix gibt, der 1 ist und verwendet werden kann Step 4: Falls Terminierungslevel erreicht, dann überprüfe ob Isomorphismus vorhanden Step 2: Gibt es in aktueller Reihe eine 1, deren Spalte noch nicht verwendet wurde? Wenn ja, dann verwende diese Spalte Step 3: Suche ersten verwendbaren Spalteneintrag mit 1 und setze alle anderen Einträge der Zeile auf 0 Step 1: Initialisieren der Variablen, starten bei Initialmatrix und erster Zeile. Alle Spalten wurden noch nicht verwendet

31 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus (Beispiel)
Step 1 Step 3 Step 2 Step 5 Step 6 Step 7 Step 4

32 4.2 Einfacher Aufzählungsalgorithmus (Beispiel)
Vergleiche mit A 1 2 3 1 1 2 1 4 1 4 2 4 2 1 1 3 3 3 3 3 3 2 3 1 1 3 2

33 4.3 Verbesserte Prozedur Wenn für alle Isomorphismen M‘ unter M gilt dann setze Neue Bedingung: Iteratives Testen bis keine 1 in 0 umgewandelt wird

34 4.3 Verbesserte Prozedur (Der Algorithmus)
Step 8: Setze Eintrag auf 0 Step 9: Nächster Matrixeintrag und nächster Knoten j Step 10: Fehler, nächster Knoten i, neuer Durchlauf oder Erfolg Step 7: Überprüfe ob Nachbar des i-ten Knotens auf einen Knoten gemappt werden kann. Step 6: Überprüfe ob Matrixeintrag 0 ist Step 1: Variablen aufsetzen Step 2 - 4: Nachbarn des i-ten Knoten suchen Step 5: nächster Matrixeintrag

35 4.3 Verbesserte Prozedur (Anwendung)
Verbesserung durch Anwendung von

36 4.3 Verbesserte Prozedur (Anwendung)
i = 1 j = 1 sc = 1000 lst = 3 h = 1 x = 3 i = 1 j = 1 sc = 1000 lst = 3 h = 1 i = 1 j = 1 sc = 1000 lst = 3 i = 1 j = 1 sc = 1000 lst = 3 h = 2 x = 3 Step 7 Step 1,2,3,4,5 Step 6

37 4.3 Verbesserte Prozedur (Anwendung)
i = 1 j = 2 sc = 0100 lst = 3 h = 1 x = 3 i = 1 j = 2 sc = 0100 lst = 3 h = 2 x = 3 Step 8 Step 9 Step 6 Step 7

38 4.3 Verbesserte Prozedur (Adaptierter Suchalgorithmus)

39 4.2 Verbesserte Prozedur (Beispiel)
Step 7 Step 5 Step 6 Step 3 Step 1 Step 2 Step 4

40 5. Zusammenfassung Rechenintensiv, aber akzeptabel
Verschiedene Arten von Matching und Methoden Vielfältige Anwendungsgebiete und Methoden (>170 Referenzen im zweiten Paper) Für uns besonders RDF-Matching interessant

41 Referenzen