Fraktale II.

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1 Fraktale II

2 Der Star des Abends:

3 Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I
Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale Stellenwert der fraktalen Geometrie

4 Geometrie, eine kurze Geschichte
Vom Geraden zum Krummen, Vom Einfachen zum Komplizierten

5 Euklid 325 – 265 v.Chr. Geometrie der Punkte, Geraden, Dreiecke,
Kreise,… Links: Raphael, die Schule von Athen

6 Desargues 1591 – 1661 Projektive Geometrie

7 Mantegna, um 1500

8 Descartes Analytische Geometrie

9 Gauss 1777 – 1855 Geometrie der gekümmten Flächen
Nichteuklidische Geometrien

10 Riemann 1826 – 1866 Riemannsche Geometrie

11 Poincaré 1854 - 1912 Topologie, Geometrie der Verformungen
Mit vielen Mitstreitern

12 Hilbert 1862 – 1943 Grundlagen der Geometrie (1899)
Axiomatische Theorie

13 Mandelbrot Geb. 1924 Fraktale, Geometrie des Verfransten

14 Ein Problem Unterschiedliche Geometrien

15 Ein weiteres Beispiel Farn: Verfranst, selbstähnlich Tulpe: Glatt

16 Das Problem: Was unterscheidet einen Blumenkohl von einer Kugel?
Was unterscheidet einen Farn von einer Tulpe?

17 Warhol: Pollock:

18 Salvatore Dali

19 Was sind Fraktale? Cantormenge

20 Cantormenge

21 Sierpinski-Korb

22 Mengers Schwamm

23 Pythagorasfraktal

24 Keine Fraktale

25 Fraktale in C

26

27

28 Barnsleys Farn

29 Ein Farn aus dem Saarland

30 Was sind Fraktale?

31 Was sind Fraktale? Fraktale sind geometrische Objekte: Selbstähnlich,
verfranst, mit komplizierten Rändern

32 Selbstähnlichkeit Vergrößerungen von Teilen sehen aus wie das Ganze
Zwei Beispiele: Das Schmidt-Fraktal Der Farn von Barnsley

33 Schmidt-Fraktal 1

34 Schmidt-Fraktal 2, 3

35 Barnsleys Farn

36 Verfranstheit Schwierig, lange diskutiert. Lösung: Fraktale Dimension

37 Dimensionsbegriffe Vektorraumdimension Topologische Dimension
Hausdorffdimension

38 Topologische Dimension (Brouwer)
Punkt: 0-dimensional Kurve: 1-dimensional Fläche: 2-dimensional Körper: 3-dimensional

39 Hausdorff 1868 – 1942 Grundzüge der Mengenlehre

40 Hausdorffs Überdeckungsdimension:
Überdeckungen bei Maßstabsänderungen. Hier Flächenmaße, 2-dimensional 1 m2 = 102 dm2 = cm2

41 Eindimensional p=5 kleine Längeneinheiten N=5 Überdeckungen

42 Zweidimensional p = 4 kleine LE N = 16 = 42 ÜD

43 Zweidimensional p = 2 kleine LE N = 4 = 22 ÜD

44 Dreidimensional p = 3 LE N = 27 = 33 ÜD

45 Beliebige Dimension Dim p N 1 5 51 2 4 42 22 3 33 d pd N = Anzahl der
Überdeckungen p = Teile der Einheit N = pd (näherungsweise für alle p)

46 Dimensionsbestimmung
Wähle p, zähle N

47 Fraktale Dimension

48 Ein klassisches Monster

49 Klassisches Cantormonster

50 Koch-Kurve (1905)

51 Sierpinski-Dreieck

52 Mengers Schwamm (1926)

53 Wie entstehen Fraktale? (Kochkurve)

54 Methode I: Ersetzen

55 Methode 2: Multikopieren

56 Methode 3: Ausschneiden

57 Ein Riesenproblem Die Endprodukte sehen gleich aus.
Sind sie auch gleich?

58 Wo leben die Fraktale? Man braucht einen vollständigen
metrischen Raum. Die kompakten Teilmengen werden mit der Hausdorff-Metrik versehen. In dem entstehenden vollständigen metrischen Raum fühlen sich die Fraktale pudelwohl.

59 Fraktale und Iteration
Reelle quadratische Funktionen: Verhuelst, Feigenbaum Komplexe quadratische Funktionen: Mandelbrot, Julia, Fatou

60 Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System
Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung mit Computern

61 Das Modell Wachstum einer Bevölkerung xn = Population im n-ten Jahr
Maximum der Population = 1

62 Logistisches Modell Annahmen: xn+1  xn xn+1  1 – xn Also:
xi+1 = r • xi • (1 – xi) r = Fruchtbarkeitsparameter

63 Einfache Mathematik: xn+1 = f(xn), f(x) = rx(1-x), 0<r< 4

64 Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

65 Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

66 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

67 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5

68 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6

69 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9

70 Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9

71 Das Feigenbaumdiagramm
Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r?

72 Nach tausend Perioden 0 < r< 4

73 Nach tausend Perioden 3 < r< 4

74 Nach 2000 Perioden: r > 3,5

75 Nach 2000 Perioden: r > 3,8

76 Ähnlich im Komplexen: f(z) = z2 + c zi+1 = f(zn)
Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?

77 Die Zahl z = 3 + 2i

78 Die Gausssche Zahlenebene

79 Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme.
Division leicht schwieriger. Geometrisch interpretierbar. Beispiel: Addition

80 Geometrische Addition

81 Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen.
C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x2+1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.

82 Quadratische Iteration in C
f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn) Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?

83 Was kann passieren? f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn), Startwert z0 gegeben
(zn) kann konvergieren gegen Unendlich gehen periodisch sein chaotisch sein

84 Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2 +1/8

85 Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2+1 n zn 0 1 1 2 2 5

86 Mandelbrotmenge M f(z) = z2+c, abhängig von z0
Mideal (z0)= {c|zn hat einen Grenzwert} Mreal (z0) = {c| |z1000| < 2} (vereinfacht)

87 M(0) (nach Zeitler u.a.)

88 Farben: Farbwert abhängig von der Anzahl der Iterationen, bis |zn|≥2:
„Ballistische Fraktale“ Einige Beispiele:

89 M, z0 = 0

90 M, z0 = 0,5

91 M, z0 = -0,5

92 M, z0 = -0,5i und z0 = 0,5i

93 Eigenschaften von M(0) Symmetrie bzgl. der reellen Achse
Schnitt mit R = [-2,1/4] M(0) ist einfach zusammenhängend (keine Inseln, keine Löcher) Der Rand ist fraktal, fraktale Dimension 2

94 Andere Farben:

95

96 Andere Farben:

97 Julia 1893 – 1978 Arbeiten über Iteration reeller Funktionen

98 Juliamenge J f(z) = z2 + c, abhängig von c
Jideal(c) = {Startwerte| zn hat einen Grenzwert} Jreal(c) = {Startwerte| |z1000| < 2}

99 J(0,3+i0,6)

100 J(1)

101 J(-1)

102 J(i)

103 J-Mengen (Wikipedia)

104 Eigenschaften von J-Mengen
Jede J-Menge ist nicht leer, kompakt , perfekt (gleich der Menge ihrer Häufungspunkte). Die Ränder sind fraktal.

105 J und M-Mengen Starker innerer Zusammenhang
M(0) enthält einen Katalog aller J-Mengen

106 M- und J-Mengen (Zeitler)

107 Eine Verallgemeinerung

108 Newtonfraktale

109 Newton

110 Newton-Verfahren Näherungsweise Bestimmung von Nullstellen einer
Funktion Klappt auch in C

111 Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

112 N-Verfahren für z3 – 1 =0 Farbgebung nach Divergenz- Geschwindigkeit
Die Ränder der Newtonmenge sind fraktal

113 N(z3-1)

114 N(z3-1) (Zoom)

115 Anwendung I: Bildkompression
Aus 10 MB Tiff werden 3 MB BMP 500 KB GIF 100 KB JPG 70 KB FIF, beliebig skalierbar

116 Anwendung II: Virtuelle Welten
Beispiel: Krieg der Sterne Anbieter: George Lucas

117 Weitere Anwendungen Druckersteuerung Wie überstehen Bäume Stürme?
Fraktale Unternehmen? (Warnecke) Vorhersagen (Börsenkurse) Lindenmayer-Systeme

118 Lindenmayer-Systeme

119

120 Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie:
Gut zum Beschreiben, schlecht zum Erklären. Fraktale und Chaos (dynamische Systeme): Fraktale: Der geometrische Aspekt Chaos: Der dynamische Aspekt

121 Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Chaos: Nicht mehr in,
kaum neue Literatur, kaum neue Anwendungen. Chaos: Äußerst lebendig, hochkarätige Forschung.

122 Versuch einer Wertung Fraktale auf dem Computer: Sehr aktive Szene,
Wettbewerbe, Ausstellungen im Internet. Auch fraktale Musik, Videos (Reisen durch Fraktale)

123 Literaturtipps Zeitler/Pagon: Fraktale Geometrie Vieweg 24,90 €
Peitgen u.a.: The Beauty of Fractals Springer ,34 € Peitgen u.a: Bausteine des Chaos Fraktale Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur Birkhäuser 28,00 €

124 Wenn Sie mehr wissen wollen
Da werden Sie geholfen. Spanky-Homepage Clifford Pickover Computergrafik an der TU Wien

125 Windowsprogramme Fractint (DOS-Version) Winfract Fdesign Ultrafract
Xfract

126 Noch einige Fraktale

127 Oder

128

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131

132

133

134 Zum Ende: Herzlichen Dank, auf fraktalisch, im Dialekt der IFS

135 Herzlichen Dank (auf fraktalisch)