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und Veranschaulichung
CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 2 Festigkeitslehre Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik ? Ende

Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 2 Festigkeitslehre Schutzrechte ? Ende

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2 Festigkeitslehre Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts.. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und „N“ Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“ Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden: Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation, z. B. über das Menü der rechten Maus-taste, erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: ? Ende

2 Festigkeitslehre Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. ? Ende

identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> ) Seite 1 STATIK 12 S 12 1.1 Grundlagen 15 S 15 1.1.1 Starrer Körper 15 S 15 1.1.2 Kraft 16 S 16 1.1.3 Wechselwirkungsprinzip 19 1.1.4 Schnittprinzip 20 1.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte 21 1.1.6 Gleichgewicht 21 1.1.7 Äquivalenz von Kräften 23 1.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 24 1.2.1 Resultierende 24 1.2.2 Gleichgewicht von Kräften 31 1.2.3 Lagerungsbedingungen 32 1.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 36 1.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte 36 1.3.2 Moment 38 1.3.3 Versetzungsmoment 40 1.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) 42 1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten 44 1.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe 46 S 46 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 5

? 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49
identisch mit Seite 1.4 Ebene Tragwerke 49 S 49 1.4.1 Grundbegriffe 49 1.4.2 Lagerung starrer Scheiben 50 1.4.3 Streckenlasten 55 Definition von Streckenlasten 55 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast 57 1.4.4 Beispiele 59 1.5 Scheibenverbindungen 62 1.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit 62 1.5.2 Dreigelenkträger 67 1.5.3 Gerberträger 72 1.5.4 Ebene Fachwerke 75 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken 80 Arten von Fachwerken 81 Berechnungsmethoden für Fachwerke 83 1.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen 88 1.6.1 Definition der Schnittgrößen 88 1.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen 91 1.6.3 Differentielle Beziehungen 95 1.6.4 Anwendungen 98 1.7 Zentrales räumliches Kraftsystem 110 1.7.1 Ermittlung der Resultierenden 111 1.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe 112 S 112 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 6

? 1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem 114 S 114
identisch mit Seite 1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten 117 1.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente 118 1.8.3 Räumlich gestützter Körper 119 1.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken 123 1.9 Schwerpunkt 127 1.9.1 Massenschwerpunkt 127 1.9.2 Volumenschwerpunkt 129 1.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen 129 1.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien 131 1.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde 132 1.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten 133 1.10 Flächenträgheitsmomente 134 Definition der Flächenträgheitsmomente 134 Satz von STEINER 137 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen 140 Hauptträgheitsmomente 141 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen 146 1.11 Haftung und Gleitreibung 148 Haftung (Zustand der Ruhe) 149 Gleitreibung (Zustand der Bewegung) 154 Seilhaftung und Seilreibung 156 Seilhaftung 156 Seilreibung 160 S 160 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 7

2 Festigkeitslehre 161 F 12 (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> ) 2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre 162 F 13 2.1.1 Einleitung 162 F 13 2.1.2 Spannungszustand 168 F 19 2.1.3 Deformationszustand 171 F 22 2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F 25 Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F 26 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F 32 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz 182 F 33 2.2 Zug und Druck 184 F 35 2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen 184 F 35 Berechnung der Spannung 184 F 35 Berechnung der Verformungen 188 F 39 2.2.2 Flächenpressung 198 F 49 2.3 Biegung 203 F 54 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen 203 F 54 2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung 205 F 56 2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung 212 F 63 2.3.4 Schiefe Biegung 229 F 80 2.4 Querkraftschub 234 F 85 2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung 234 F 85 2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung 238 F 89 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 8

2.5 Torsion 242 F 93 (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> ) 2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F 94 Annahmen und Voraussetzungen 243 F 94 Berechnung der Torsionsspannung 244 F 95 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel j) 247 F 98 2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte 254 F 105 2.6 Scherbeanspruchung 258 F 109 2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung 263 F 114 2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F 115 2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände 265 F 116 2.7.3 Spannungshypothesen 275 F 126 2.8 Stabilität 285 F 136 2.8.1 Einführung 285 F 136 2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem 290 F 141 2.8.3 EULER-Fälle 293 F 144 3 Dynamik 302 D 12 3.1 Kinematik des Punktes 304 D 14 3.1.1 Definitionen 304 D 14 3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D 15 3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D 17 3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D 19 3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D 21 3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 9

? 3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers 318 D 28
3.2.1 Grundlagen 318 D 28 3.2.2 Momentanpol 319 D 29 3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern 325 D 35 3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern 330 D 40 3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen 330 D 40 3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern 337 D 47 3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen 349 D 59 3.4 Energiebetrachtungen 356 D 66 3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung 356 D 66 Arbeit 356 D 66 Potentielle Energie 359 D 69 Energieerhaltungssatz 360 D 70 Leistung 368 D 78 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers 371 D 81 3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes 376 D 86 3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art 380 D 90 3.5 Schwingungen 389 D 99 3.5.1 Einführung 389 D 99 3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 394 D 104 3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 407 D 117 3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 417 D 127 3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden 424 D 134 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 10

Einführung 424 D 134 Aufstellen der Bewegungsgleichungen 425 D 135 bis 435 D 145 ? Ende 2 Festigkeitslehre Inhalt Seite: 11

2 Festigkeitslehre Ziel der Festigkeitslehre ?
Im Kapitel 1 Statik (S 12) wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe und unter der Annahme starrer (undeformierbarer) Körper untersucht. Mit Hilfe des Schnittprinzips konnten so Lager- und Gelenkreaktionen sowie resultierende innere Belastungen (Schnittgrößen) berechnet werden. Da in der Realität die Körper aber deformierbar sind, kommt es zu Körperverformungen und zu inneren Beanspruchungen, den so genannten Spannungen (auf ein Flächenelement bezogene Kräfte). Mit der Berechnung dieser Verformungen und Spannungen wollen wir uns in der Festigkeitslehre beschäftigen. Das Ziel der Festigkeitslehre kann somit wie folgt zusammengefasst werden: In der Festigkeitslehre werden innere Beanspruchungen (Spannungen) und Verformungen von Körpern berechnet, um damit die Eignung des Körpers (Tragwerkes) hinsichtlich der Festigkeit, der Steifigkeit, der Stabilität, der Dauerfestigkeit usw. für den gedachten praktischen Einsatz einschätzen zu können. Ein weiteres wichtiges Ziel ist die Dimensionierung von Tragwerken, d. h. die Festlegung wichtiger geometrischer Größen (z. B. Querschnittsabmessungen von Stäben und Balken), die Auswahl geeigneter Werkstoffe usw., so dass die Tragwerke eine vorgegebene Funktion zuverlässig und sicher erfüllen. ? Ende

2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre
2.1.1 Einleitung Die in der Statik getroffene Annahme eines starren Körpers, muss in der Festigkeitslehre durch die Annahme eines deformierbaren Körpers ersetzt werden (Bild 2.1). deformierbar Statik starr Bild 2.1 Starrer und deformierbarer Körper unter der Wirkung von Kräften Festigkeitslehre Aus den in der Statik ermittelten Lagerreaktionen und Schnittgrößen allein lassen sich keine Aus-sagen über die Beanspruchungen bzw. die Verformungen einer Konstruktion ableiten. Erst durch das Einführen geeigneter Beanspruchungsgrößen (Spannungen) und Deformationsgrößen (Verschiebungen bzw. Dehnungen und Gleitungen - die so genannten Verzerrungen) sowie deren Verknüpfung mit in der Regel experimentell gewonnenen Materialkenngrößen über ein Materialgesetz (Stoffgesetz) lassen sich die Beanspruchungen und Verformungen ermitteln. Beachte: Durch die Annahme eines deformierbaren Körpers wird jetzt auch die Berechnung statisch unbestimmter Probleme möglich. ? Ende

Ausgehend von den Zielen der Festigkeitslehre lassen sich folgende typischen Grundaufgaben formulieren, wobei wir annehmen wollen, dass die Materialeigenschaften (in der Regel aus Experimenten in der Werkstofftechnik ermittelt) bekannt sind. 1. Festigkeitsnachweis (Spannungsnachweis): Gegeben: Geometrie, Material und Belastung Nachweis: Spannungen im Bauteil müssen kleiner sein als die für das Material zulässigen Spannungen (werden aus experimentellen Untersuchungen bestimmt). 2. Steifigkeitsnachweis (Verformungsnachweis): Gegeben: Geometrie, Material und Belastung Nachweis: Verformungen des Bauteils müssen kleiner sein als zulässige Verformungen. 3. Dimensionierung bezüglich Steifigkeit: bezüglich Festigkeit: Geometriefestlegung so, dass die maximalen Spannungen kleiner werden als die zulässigen Spannungen Geometriefestlegung so, dass die Verformungen an jeder Stelle des Bauteils kleiner werden als die zulässigen Verformungen 4. Belastbarkeitsrechnung bezüglich Steifigkeit: bezüglich Festigkeit: Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Spannungen nicht überschritten werden Berechnung der max. äußeren Belastung so, dass die zulässigen Verformungen an keiner Stelle des Bauteils überschritten werden Hinweis: Häufig müssen die Grundaufgaben 1. bis 4. kombiniert durchgeführt werden! ? Ende

Allgemeine Annahmen Zur Lösung der oben aufgeführten Grundaufgaben werden im Rahmen dieses Lehrbuches folgende Annahmen eingeführt, die für viele Standardaufgaben der Ingenieurpraxis zu ausreichend genauen Ergebnissen führen: Die Verformungen seien klein.  Gleichgewicht kann am unverformten System aufge-stellt werden (Theorie 1. Ordnung). Ausnahme: Stabi-litätsuntersuchungen; dort wird das Gleichgewicht am verformten System aufgeschrieben (siehe Kapitel 2.8) Die Verformungen gehen bei Wegnahme der Belastungen wieder vollständig zurück.  ideal elastisches Materialverhalten Die Verformungen und Spannungen sind linear voneinander abhängig.  lineares Materialverhalten Das Material ist homogen (an jeder Stelle gelten die gleichen Materialeigenschaften) und isotrop (Materialeigenschaften sind unabhängig von der Richtung ). Weiterhin werden wir vorzugsweise Bauteile bzw. Systeme betrachten, bei denen die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen sind (Stab- und Balkensysteme). ? Ende

Frage: Wie groß sind „kleine Verformungen“
Frage: Wie groß sind „kleine Verformungen“? Wann sind die Längenabmessungen wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen? Dazu hier einige Beispiele: 10 cm 2 m (groß!) 10 cm 20 cm (klein!) 100 m 1 m 20 cm (groß!) 20 cm (klein!) Antwort: Absolute Werte lassen sich nicht angeben! Empfehlungen bzw. Richtwerte sind von der Bauteilgeometrie und den Anforderungen an die Genauigkeit der Ergebnisse abhängig. Bild 2.2 Maßverhältnisse („groß“, „klein“) von Bauteilen Hinweis: Falls obige Annahmen nicht erfüllt sind, kommen erweiterte Theorien zur Anwen-dung, z. B.: Theorie 2. und 3. Ordnung (für Stabilitätsuntersuchungen und für große Verfor-mungen); Theorien für nichtlineares Materialverhalten (Plastizitäts-, Viskoelastizitätstheorie usw.); Theorien bzw. Berechnungsverfahren für Scheiben, Platten, Schalen usw. ? Ende

Beanspruchungsarten (Auswahl der technisch wichtigsten)
Zug/Druck FL Ursache: Längskraft FL Typische Verformung: Längsdehnung (konst. über die Querschnittsfläche)  Verlängerung/Verkürzung Reine Biegung Ursache: Biegemomente Mbx (vgl. Bild rechts) bzw.. Mby x y z Mbx Typische Verformung: Längsdehnung (linear veränderlich über den Querschnitt  Biegung der Längsachse Mt j • Torsion Ursache: Torsionsmoment Mt Typische Verformung: Gleitung in der Querschnittsebene  Verdrehung der Querschnitte um die Längsachse Stabilität (Knicken) Ursache: Kritische Druckkraft FK FK F<FK Typische Verformung: Knicken beim Erreichen von FK  Biegung der Längsachse Bild 2.3 Beanspruchungsarten ? Ende

? Querkraftschub bei Biegung Ursache: Querkräfte FQx, FQy
zusätzlicher Verformungsanteil aus Querkraftschub (meist gering!) x y z Verformungsanteil aus der Biegung Bild 2.4 Querkraftschub bei Biegung Ursache: Querkräfte FQx, FQy Typische Verformung: Gleitungen in der Querschnittsebene  Krümmung der Längsachse wie bei der Biegung Hinweis: Eine reine Querkraftschubbeanspruchung kommt praktisch kaum vor. Sie ist in der Regel an eine Biegebeanspruchung gekoppelt (vgl. Bild 2.4). Die Spannungen und Verformungen infolge des Querkraftschubs können bei Balken mit großer Länge gegenüber den Querschnittsabmessungen in der Regel vernachlässigt werden, da sie im Vergleich zu den Biegebeanspruchungen klein sind. klein! Scherbeanspruchung Ursache: Dicht (theoretisch unendlich dicht) nebeneinander liegende entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte Resultierende aus Flächen-pressung (Blech - Niet) Typische Verformung: sehr große Gleitungen in der Querschnittsebene  Gefahr der Zerstörung durch Abscheren Flächenpressung Ursache: Druckbelastung einer ebenen oder gekrümmten Fläche (z. B. zwischen Niet und Blech an der gemeinsamen Kontaktfläche) Flächenpressung im Blech infolge der Belastung durch den Niet Bild 2.5 Scherbeanspruchung (oben); Flächenpressung zwischen Niet und Blech (links)  Gefahr der Oberflächenschädigung (insbe- sonders bei einer Relativbewegung der Kontaktflächen, siehe Kapitel 1.11, S 148) ? Ende

2.1.2 Spannungszustand ? Definition der Spannung
Schnitt Die Belastungen auf einen Körper werden über innere Kräfte zu den Lagern geleitet. Schneiden wir einen im Gleichgewicht befindlichen Körper, so muss auch jedes Teilsystem mit seiner Belastung und mit den in den Schnittflächen verteilten inneren Kräften im Gleichgewicht sein (Bild 2.6). F P Bild 2.6 Innere Kräfte n dA dF über A verteilte Kräfte (mit F im Gleichgewicht) dA - differentielles Flächenelement in der Schnitt-fläche A im Punkt P Mit dF - Resultierende der auf dA angreifenden inneren Kräfte definiert man den Quotienten aus dF und dA als Spannung s im Punkt P: (2.1) Einheit: Für die Spannung s gilt: Die Spannung ist wie die Kraft ein Vektor. Die Spannung steht im Allgemeinen nicht normal (n = Normalenrichtung, vgl. Bild 2.6) auf dA. Die Spannung ist ein Maß für die Beanspruchung des Bauteils. ? Ende

Da die Spannung beliebig auf dA stehen kann, zerlegt man sie zweckmäßig in drei Komponenten bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem. Legen wir die x-Achse z. B. in Normalenrichtung n zur Fläche dA, so kann s in drei Spannungskomponenten (Bild 2.7), in z x, n y Bild 2.7 Spannungskomponenten s P dA Fläche A txz txy eine Normalpannung (normal zur Fläche dA) und in sx sx zerlegt werden. zwei Tangental- oder Schubspannungen (liegen in der Fläche dA) txy , txz Hinweis zur Indizierung der Spannungen: Der erste Index gibt an, in welche Richtung die Flächennormale n zeigt und der zweite Index beschreibt die Richtung des Spannungsvektors (bei der Normalspannung kann der zweite Index auch wegfallen, da es nur eine Normalspannung für eine Fläche dA gibt). Definition des positiven Schnittufers und der positiven Spannungen am Schnittufer: Zeigen Flächennormale n und Achsenrichtung (z. B. x-Achse im Bild 2.7) in die gleiche Richtung, so liegt ein positives Schnittufer vor. Der Punkt P in Bild 2.7 liegt somit in einer Schnittfläche, die ein positives Schnittufer darstellt. Im umgekehrten Fall sprechen wir von einem negativen Schnittufer. Am positiven Schnittufer sind alle Spannungskomponenten positiv in positiver Koordinaten-richtung definiert. Am negativen Schnittufer zeigen sie in die entgegengesetzte Richtung. ? Ende

sz tzy tzx tyz txz sy sx tyx txy ?
Wird aus einem Körper im Punkt P ein differentiell kleiner Würfel mit den Flächennormalen in (x,y,z)-Richtung herausgeschnitten, so wirken jetzt in jeder der drei senkrecht aufeinander stehenden Flächen eine Normalspannung s und zwei Schubspannungen t (vgl. Bild 2.8). x z y P dx dy dz Bild 2.8 Räumlicher Spannungszustand sz tzy tzx Hinweis: Es sind nur die Spannungen am positiven Schnittufer dargestellt. Am negativen Schnittufer wirken sie genau entgegengesetzt. sy tyx tyz Diese 9 Spannungsgrößen beschreiben den so genannten räumlichen Spannungszustand im Punkt P. Sie bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe bzw. den räumlichen Spannungstensor S, der wegen Gleichung (2.49) symmetrisch wird. sx txy txz (2.2) Spannungstensor Beachte: Für eine andere Orientierung des differentiell kleinen Würfels ergibt sich ein Spannungstensor mit anderen Komponenten. Dieser beschreibt aber den gleichen Spannungszustand. ? Ende

2.1.3 Deformationszustand Die Änderung der Gestalt und der Größe eines Körpers infolge einer äußeren Belastung (auch Temperaturänderung zählen dazu) heißt Formänderung bzw. Deformation. x y z P Bild 2.9 Definition der Verschiebungen Die Formänderung bzw. Deformation kann durch die Angabe der Verschiebungen u, v und w in x-, y- und z-Richtung für alle Punkte P eines Körpers beschrieben werden (Bild 2.9). w P´ Sind die Verschiebungen aller Punkte eines Körpers gleich groß, so erfährt er nur eine Starrkörperverschiebung, d. h. seine Gestalt und Größe ändern sich nicht. u Sind die Verschiebungen der Punkte P eines Körpers jedoch unterschiedlich groß, so kommt es zur Änderung der Gestalt und der Größe des Körpers (Deformationen) infolge örtlicher Verzerrungen im Körper. v Als charakteristische Verzerrungsgrößen führen wir folgende Größen ein: Dehnung e : Verlängerung einer Körperlinie bezogen auf die ursprüngliche Länge Gleitung g : Winkelverkleinerung eines ursprünglich rechten Winkels Hinweis: Bei gleich großen Verschiebungen aller Punkte erfährt der Körper eine Starr-körperverschiebung (siehe Bild 2.10, gestrichelte Zwischenlage) ohne dass dabei Verzer-rungen (Dehnungen und Gleitungen) eintreten! ? Ende

? Dehnungen und Gleitungen
y x y+dy x + dx P1 P2 P3 dA g1 g2 P2 P3 dx u x v dy y verzerrte Fläche dA Wir betrachten zunächst die (x,y)-Ebene. In Bild 2.10 ist ein Flächenelement dA = dx·dy im unbe-lasteten Zustand (Eckpunkte P1, P2, P3) dargestellt. P1 u v Es erfährt unter einer Belastung Verzerrungen und nimmt eine verschobene und verzerrte (deformier-te) neue Lage ein (Eckpunkte ). Die in Bild 2.10 dargestellten Verformungen werden als klein2 vorausgesetzt (vergleiche Allgemeine An-nahmen im Kapitel 2.1.1, Seite 164). Die Dehnung ex der Seite P1P2 in x-Richtung wird: Bild Verzerrung eines Flächenelements dA Die Dehnung ey der Seite P1P3 in y-Richtung: 0 Die Gleitung g im Punkte P1 wird: 2 cosg1 1, cosg2 1, tang1 g1, tang2 g2, Taylor-Reihe: 0 ? Ende

Hinweis: Im Nenner der Gleichung für die Gleitung kann der zweite Summand gegenüber dem ersten Summand vernachlässigt werden, da er das Produkt zweier differentiell kleiner Größen ist und damit im Vergleich zum ersten Summand sehr klein wird! Werden analoge Betrachtungen in der (x,z)-Ebene und in der (y,z)-Ebene angestellt, so erhält man die Dehnung ez und die Gleitungen gxz und gyz in diesen Ebenen. Zusammenfassend erhalten wir: Dehnungen (2.3) Gleitungen (2.4) Die Gesamtheit der drei Dehnungen und drei Gleitungen in einem Punkt P eines Körpers bezeichnen wir als Verzerrungs- oder Deformationszustand. Diese 6 Verzerrungsgrößen bilden die Komponenten eines Tensors 2. Stufe, den so genannten räumlichen Verzerrungs- oder Deformationstensor D. (2.5) Hinweis: Es gilt allgemein gi j= gji . Der Faktor ½ steht aus Gründen der Zweckmäßigkeit in D. ? Ende

2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze)
Die Erfahrung zeigt, dass die Verformung eines Bauteils bei gleicher Geometrie, Lagerung und Belastung (d. h. auch gleicher Spannung) vom verwendeten Material abhängig ist (Bild 2.11). l A, Stahl z Bild Einfluss des Materials auf die Verformungen A, Aluminium l z F lStahl F lAluminium  3·lStahl Es muss also einen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen geben, der vom Material abhängt! Dieser Zusammenhang kann nur experimentell ermittelt werden. Es ist Aufgabe der Werkstofftechnik diese materialabhängigen Kennwerte zu bestimmen. Zum Ermittlung grundlegender Materialkennwerte dient der Zugversuch an einem genormten Zugstab (DIN 50145) mit Kreisquerschnitt d0, festgelegter Messlänge l0 und einer bestimmten Oberflächenbeschaffenheit (Bild 2.12). l0 d0 F A0 (Querschnittsfläche) Bild Zugstab zur experimentellen Ermittlung von Materialkennwerten Der Index „0“ steht für die Maße des unbelasteten Zugstabes. ? Ende

2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung
Im Zugversuch wird die Belastung F bis zum Reißen des Zugstabes langsam gesteigert und die dabei in der Meßlänge l0 auftretende Dehnung e ermittelt. (Nennspannung) und (2.6) Mit folgt das so genannte Spannungs-Dehnungs-Diagramm, welches im Allgemeinen für jedes Material ein anderes Aussehen hat (z. B. Bild 2.13, typisch für Baustähle bei Raumtemperatur).   Rm Z P E Re auf Ausgangsfläche A0 bezogen z plastischer Bereich elastischer Bild Spannungs-Dehnungs-Diagramm auf aktuelle Fläche A bezogen Es bedeuten: p Proportionalitätsgrenze E Elastizitätsgrenze Re Streckgrenze (oft noch S, F) Rm Zugfestigkeit (oft noch B) Z Bruchnennspannung eZ Bruchdehnung Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm zeigt bis zur Proportionalitätsgrenze p einen lineares Verlauf. Der Proportionalitätsfaktor E heißt Elastizitätsmodul (auch YOUNGscher Modul) und stellt den Anstieg - also E = tan a - der Geraden im Diagramm bis zur Proportionalitätsgrenze dar. a tana = E Es gilt dann das HOOKEsche Gesetz: HOOKEsches Gesetz s = E · e (2.7) ? Ende

Beachte: Das Hookesche Gesetz in der Form s = E·e gilt für den einachsigen Spannungs-zustand und für Spannungen bis zur Proportionalitätsgrenze sP. Es verknüpft die Dehnung e in Achsenrichtung (hier Achse des Stabes) mittels des Proportionalitätsfaktors E mit der Normalspannung s in Achsenrichtung. Die Elastizitätsgrenze sE grenzt den Bereich des elastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben keine dauerhaften Dehnungen zurück) von dem des plastischen Materialverhaltens (bei Entlastung bleiben dauerhafte Dehnungen zurück) ab. Beim Erreichen der Bruchnennspannung sZ tritt der Bruch des Zugstabes ein. Auf Grund unserer allgemeinen Annahmen (vgl. Kapitel 2.1.1) bewegen wir uns bei allen folgenden Betrachtungen nur im elastischen Bereich und dort speziell nur bis zur Proportionalitätsgrenze. Der Elastizitätsmodul E ist eine wichtige Materialkenngröße. Bei Raumtemperatur hat der Elastizitätsmodul z. B. folgende Größe (Richtwerte): Tabelle 2.1 Elastizitätsmodul E für ausgewählte Werkstoffe Werkstoff E in Nmm-2 Stahl / Stahlguss 2,1  105 Glas 0,72  105 Kupfer 1,2  105 Aluminium 0,7  105 Messing 0,9  105 Stahlbeton 0,4  105 Grauguss 0,8  105 Buchenholz 0,16  105 Gummi » ? Ende

Querdehnung Bei der Zugbelastung kann man neben der Längsdehnung e (Dehnung in Achsenrichtung des Stabes) auch eine Querdehnung beobachten (vgl. Bild 2.14). Definition der Querdehnung: Querdehnung (2.8) l0 l d F d0 l0 d0 Bild Querdehnung bei Zugbelastung eines Stabes Mit Versuchen kann nachweisen werden, dass bis zur Proportionalitätsgrenze für alle Belastungen jeweils das gleiche Verhältnis aus Längsdehnung und Querdehnung gilt: (2.9) Aus (2.8) in Verbindung mit den eintretenden Durchmesseränderungen liest man ab, dass bei einer Zugbelastung eq < 0 wird und bei einer Druckbelastung eq > 0 wird. Mit (2.9) und der Definitionsgleichung (2.6) für die Längsdehnung e, die für eine Zugbelastung e > 0 und für eine Druckbelastung e < 0 liefert, folgt die Querdehnung in Abhängigkeit von der Längsdehnung zu Querdehnung (2.10) mit  - Querkontraktionszahl bzw. - POISSONsche Zahl ? Ende

Beachte: Für homogenes isotropes Material ist die Querdehnung in allen Querrichtungen gleich groß. Es gilt: 0 0,5 (n = 0 bedeutet keine Querdehnung und n = 0,5 bedeutet inkompressibles Material). Die Querkontraktionszahl  ist eine weitere wichtige Materialkenngröße. Einige Richtwerte sind in Tabelle 2.2 angegeben. Tabelle 2.2 Querkontraktionszahl n für ausgewählte Werkstoffe Werkstoff n Metalle (außer Grauguss) 0,3 Grauguss 0, ,2 Beton 0,16 (in der Praxis wird häufig n = 0 angenommen) Gummi » 0, ,5 (nahezu inkompressibles Material) ? Ende

a - Wärmeausdehnungskoeffizient (Einheit: K-1)
Temperaturdehnungen Wird ein Körper einer Temperaturänderung ausgesetzt, so dehnt er sich bezogen auf den Zustand der Ausgangstemperatur. TA Aus der Erfahrung wissen wir, dass er sich bei einer Temperaturerhöhung (DT > 0) aus-dehnt TE > TA (T > 0 ) TE < TA (T < 0 ) und bei einer Verringerung der Temperatur (DT < 0) zusammenzieht (Bild 2.15). Bild Temperaturdehnungen Beachte: Die Größe der Temperaturdehnung ist ebenfalls materialabhängig. Mit TA - Ausgangstemperatur (Einheit: K) TE - Endtemperatur (Einheit: K) T = TE -TA (Temperaturdifferenz) a - Wärmeausdehnungskoeffizient (Einheit: K-1) ergibt sich für die Temperaturdehnung gegenüber dem Ausgangszustand bei TE e = a  T Temperaturdehnung (2.11) ? Ende

Beachte: Die Temperaturdehnung infolge einer konstanten Temperaturerhöhung im Körper ist für homogenes isotropes Material in allen Richtungen gleich groß, d. h. es gibt in diesem Fall keine Gleitungen. Eine konstante Temperaturerhöhung im Körper führt nur bei Behinderung der Verformungen (z. B. bei statisch unbestimmten Systemen) zu Spannungen. In der Tabelle 2.3 ist für einige Werkstoffe die für die Temperaturdehnung typische Materialkenngröße – der Wärmeausdehnungskoeffizienten a – aufgeführt. Tabelle Wärmeausdehnungskoeffizient a für ausgewählte Werkstoffe Werkstoff a in K-1 Aluminium 23  10-6 Kupfer 16  10-6 Stahl 12  10-6 Grauguss 9  10-6 ? Ende

2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitung
Wird ein differentielles Element außer durch Normalspannungen s in Achsenrichtung noch durch Schubspannungen t beansprucht, so kommt es neben der Dehnung e in Achsenrichtung noch zu Gleitungen g (vgl. Kapitel 2.1.3, Seite 171), die auch als Schub-verzerrungen bezeichnet werden (Bild 2.16). x y Bild Gleitung infolge t  ½ Analog zum HOOKEschen Gesetz für die Dehnung gibt es eine lineare Beziehung zwischen der Schubspannungen t und der Gleitung g : t = G · g (2.12) mit dem Proportionalitätsfaktor G, der Gleitmodul genannt wird. Der Gleitmodul G kann für homogenes und isotropes Material aus dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl n berechnet werden. (2.13) Es gilt (auf eine Herleitung wird hier verzichtet): Die Tabelle 2.4 enthält Werte für den Gleitmodul G, die mit der Gleichung (2.13), dem Elastizitäts-modul E aus Tabelle 2.1 und der Querkontraktionszahl n nach Tabelle 2.2 ermittelt wurden. Werkstoff G in Nmm-2 Stahl / Stahlguss 0,81  105 Grauguss 0, ,36  105 Kupfer 0,46  105 Aluminium 0,27  105 Messing 0,35  105 Gummi  0, ,01 Tabelle 2.4 Gleitmodul G für ausgewählte Werk-stoffe ? Ende

2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsche Gesetz
Liegt ein Spannungszustand mit allen Spannungskomponente s und t vor (räumlicher Spannungszustand, vgl. Kapitel 2.1.2, Bild 2.8), dann kann das Elastizitätsgesetz (auch verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz genannt) durch Superposition der oben beschriebenen Dehnungen gewonnen werden. Aus den Gleichungen (2.7), (2.10) und (2.11) ergeben sich die Dehnungen in allen drei Koordi-natenrichtungen infolge der drei Normalspannungen und einer Temperaturdifferenz zu: (2.14) Aus Gleichung (2.12) folgen die Gleitungen in den drei Koordinatenebenen infolge der drei Schubspannungen zu: (2.15) Die Gleichungen (2.14) und (2.15) lassen sich nach den Spannungen auflösen und man erhält: ? Ende

und (2.16) mit der Volumendehnung e (2.17) ? Ende

2.2 Zug und Druck 2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen
Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben, Balken und Seilen infolge einer Längskraft FL in z-Richtung. Die Längskraft FL ist die resultierende Kraft in z-Richtung der über den Querschnitt verteilten Normalspannungen sz. Berechnung der Spannungen (2.18) Es gilt folglich Annahme: In hinreichender Entfernung von diskreten Lastangriffsstellen (auch Lagern) kann angenommen werden,7 dass in allen Punkten einer Querschnittfläche die Normalspannungen sz gleich groß sind. 7 Prinzip von DE SAINT VENANT; A. J. C. BARRE DE SAINT VENANT ( ), französischer Physiker Damit folgt aus Gleichung (2.18): (2.19) ? Ende

Die Gleichung (2.19) ist die allgemeine Spannungsgleichung für die Zug/Druck Belastung eines Stabes bzw. Balkens, die auch für Seile gilt, wenn wir negative Längskräfte ausschließen. Da nur eine Normalspannung in Richtung der z-Achse auftritt, wird der Spannungszustand auch als einachsiger Spannungszustand bezeichnet. (2.19) Hinweis: FL und A können „schwach“ veränderlich sein (vgl. Bild 2.17). l-z F FE(z) sz(z)= F+FE(z) A(z) l F r Bild Berechnung von Längskraft und Spannung in einem Stab l-z A(z) F FL(z)=F+FE(z) V(z) FE(z)= V(z)rg z A(z) ? Ende

? Bohrungen, Kerben, Absätze
Sind in den Stäben oder Balken Bohrungen (Bild 2.18), Kerben (Bild 2.19), Absätze und dergleichen vorhanden, so verursa-chen diese ungleichmäßige Spannungsverteilungen über den Querschnitt bzw. Spannungsspitzen, die die rechnerisch ermit-telten Spannungen (Nennspannungen) nach Gleichung (2.19) wesentlich überschreiten können. FL b d Dicke h sn = FL/([b-d]·h) FL sK = aK·sn Die Berechnung der Spannungsspitzen (Kerbspannung) erfolgt in diesen Fällen über so genannte Formzahlen aK, deren Größe von der Form und Größe der Störung (Kerbe) abhängig ist. Bild Kerbspannungen bei Bohrung in einem Flachstab unter Zugbeanspruchung Mit der Nennspannung nach Gleichung (2.19) (Annahme: sn ist über Avorhanden konstant) wird die Spannungsspitze (Kerbspannung) Kerbspannung (2.20) Die Werte für die Formzahlen aK findet man in Diagrammen (z. B. Bild 2.19) und Vorschriften. Ihre Berechnung erfordert erweiterte Theorien und ist im Allgemeinen kompliziert. ? Ende

Als Beispiel ist in Bild 2
Als Beispiel ist in Bild 2.19 ein Rundstab mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung dargestellt. FL r t • Bild Kerbspannung für Rundstab mit Umlaufkerbe; Diagramm für aK als Funktion der Kerbgeometrie t/r K 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 1 2 3 4 1,5 0,6 0,3 r/r = 0,1 FL sn = FL/(pr2) sK = aK· sn In Abhängigkeit von der Kerbgeometrie kann aus dem Diagramm für diesen Fall die Formzahl aK bestimmt werden. Für eine Kerbe mit r = 10 mm, t = r = 3 mm folgt mit t/r = 1 und r/r = 0,3 aus dem Diagramm von Bild 2.19 für die Formzahl aK  1,85 Die Kerbspannung sK im geschwächten Querschnitt ergibt sich dann mit der Nennspannung sn (siehe Bild 2.19) aus Gleichung (2.20) zu ? Ende

2.2.1.2 Berechnung der Verformungen
Bei Annahme der Gültigkeit des HOOKEschen Gesetzes und eines einachsigen Spannungs-zustandes in z-Richtung (sx = sy = 0) folgt aus dem verallgemeinerten HOOKEschen Gesetz (3. Gleichung von (2.14)) und der Spannung sz(z) nach Gleichung (2.19) für die Zug/Druck Beanspruchung die Dehnung in z-Richtung zu Das Produkt EA ist die so genannte Dehnsteifigkeit. Mit der Dehnung nach Gleichung (2.3), Seite 173 folgt (2.21) Gleichung (2.21) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Verschiebung w. Die Integra-tion von (2.21) liefert die Verschiebung w der Querschnittspunkte eines Stabes in z-Richtung. (2.22) Hinweis: C ist eine Integrationskonstante, die für jede spezielle Aufgabe aus einer Rand-bedingung (bekannte Bedingung für die Verschiebung w) bestimmt werden kann. Zum Beispiel muss für den Stab von Bild 2.20 die Randbedingung w(z=0) = 0 erfüllt sein. ? Ende

l F z w(z) w(z=l) = l w = 0 Bild Zugstab mit Verformungen Die häufig benötigte Gesamtverlängerung Dl eines Stabes der Länge l (siehe Bild 2.20) ergibt sich nach Integration der Gleichung (2.21) zu (2.23) Für den in der Praxis häufig vorkommenden Fall einer konstanten Längskraft (FL = konst.), einer konstanten Dehnsteifigkeit (EA = konst.) und einer konstanten Temperaturbelastung (aDT = konst.) vereinfachen sich die Gleichungen (2.21), (2.22) und (2.23) wie folgt: (2.24) (2.25) (2.26) ? Ende

Beispiel 2.1 Abgesetzter Stab mit Längsbelastung
EA1 EA2 F1 F2 Geg.: E, A1, A2, l1, l2, F1, F2 Ges.: Spannungen, Verschiebungen z1 z2 Schnittgrößen: Nach Definition der Längskoordinaten für die zwei Bereiche 1. Bereich: 0  z1  l1: folgt aus den Schnittbildern rechts (hier gibt es nur Längskräfte): F1 F2 z1 FL1 FL1 = - F1 + F2 2. Bereich: 0  z2  l2: FL2 = F2 FL2 F2 z2 Normalspannungen: Die Spannungen folgen aus Gleichung (2.19) zu: Bild Abgesetzter Stab mit Längsbelastung 1. Bereich: 2. Bereich: Verschiebungen: Wegen FL = konst. können wir die Verschiebungen aus (2.25) berechnen: (1) (2) Randbedingungen: 1. w1(z1=0) = 0 2. w1(z1=l1) = w2(z2=0)  mit (1) und (2) C1 = 0 und Einsetzen von C1 und C2 in (1) und (2) die Verschiebungen: und ? Ende

Beispiel 2.2 Masse an einem dünnen Draht (Kreisquerschnitt)
Gegeben: m = 30 kg, l = 36 m, g = 9,81 m/s2 Materialparameter: E = 1,9 105 N/mm2, r = 7,8510–6 kg/mm3 Rm = 2000 N/mm2, szul = 1/4Rm mg + gAl + FL(z) FK d, E, , Rm l g m z l-z z mg FL(z) gA(l-z) Diese Materialparameter entsprechen einem hoch-festen Stahldraht im federhart gezogenen Zustand (z. B. X 12 CrNi 177). Gesucht: 1. Durchmesser d des Drahts 2. Maximale Länge des Drahts bis zum Reißen 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Drahts Bild Masse an einem dünnen Draht Die Rechnung wird zunächst allgemein (mit Eigengewicht des Drahts) durchgeführt, damit aus den Ergebnissen noch allgemeingültige Rückschlüsse gezogen werden können. Für die Lösung wird die Längskraft im Draht benötigt. Wir schneiden an einer allgemeinen Stelle z und ermitteln die Längskraft FL aus dem Kräftegleichgewicht am Teilsystem. FL wird: FL(z) = mg+gA(l - z) (dieser Verlauf von FL ist in Bild 2.22 grafisch dargestellt) Daraus folgt mit Gleichung (2.19) der Normalspannungsverlauf im Draht zu mit bei z = 0 (vgl. Bild 2.22) Beachte: Für mg = 0 wird smax unabhängig von der Querschnittsfläche A des Drahts. ? Ende

? 1. Erforderlicher Drahtdurchmesser d:
Der Drahtdurchmesser d muss so gewählt werden, dass die folgende Bedingung erfüllt wird: (1) max  zul und mit Beachte: Für mg = 0 kann A beliebig sein (wegen max unabhängig von A für mg = 0; vgl. auch oben) Für (zul - gl)  0, d.h. für ist die Bedingung nicht mehr erfüllbar, da bei dieser Länge max = zul allein durch das Eigengewicht erreicht wird. 2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen Der Draht wird reißen, wenn die maximale Spannung die Zugfestigkeit Rm erreicht. Aus der Bedingung smax = Rm folgt dann: (2) 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Drahts Die Verschiebung berechnen wir wegen der von z abhängigen Längskraft aus der allgemei-nen Verschiebungsgleichung (2.22) für die Zug/Druck Beanspruchung. ? Ende

Die Integrationskonstante C in w(z) berechnen wir aus der Randbedingung
  w (z=0)=0 Damit ergibt sich für die Verschiebung der Drahtpunkte in Abhängigkeit von z: (3) Aus (3) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts, indem wir für z = l setzen: (4) Nachfolgend werden für die oben gegebene Zahlenwerte die Ergebnisse angegeben (die Zahlenrechnung sollte der Leser zur Übung selbst durchführen). Aus Gleichung (1) folgt 1. Erforderlicher Seilquerschnitt A: Da man einen Draht mit diesem erforderlichen Querschnitt kaum finden wird oder herstellen lassen kann, wählt man ein verfügbaren oder herstellbaren Draht mit dem nächst größeren Querschnitt aus, z. B. mit dem Durchmesser (das entspricht einer Querschnittsfläche von Avorh = 0,636 mm2) Beachte: Mit diesem gewählten Wert dgew = 0,9 mm (bzw. mit Avorh = 0,636 mm2) müssen alle nachfolgenden Rechnungen durchgeführt werden! ? Ende

? 2. Maximale Drahtlänge bis zum Reißen
Aus Gleichung (2) folgt mit Avorh Hinweis: Für mg = 0 (frei hängender Draht) wird die maximale Länge, bei der der Draht reißt, lmax = 25,97 km ! 3. Verschiebung und Gesamtverlängerung des Seiles Aus Gleichung (3) folgt mit Avorh die Verschiebung in Abhängigkeit von z zu Aus (4) erhalten wir die Gesamtverlängerung des Drahts der Länge 36 m zu Hinweis: Für mg = 0 (frei hängende Draht) wird die maximale Verlängerung bei der maximalen Drahtlänge lmax wmax = w(z = lmax = 25,97 km) = 136,7 m ! ? Ende

Beispiel 2.3 Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung
Gegeben: F = 6105 N, l1 = 1200 mm, l2 = 800 mm, A = 2000 mm2, E = 2,1105 N/mm2, a =1210–6 K–1, Ausgangstemperatur TA = 20 C, Endtemperatur TE = 50 C, (Annahme: Eigengewicht vernachlässigbar, d. h. es werden nur Längsbelastungen berücksichtigt) l1 l2 F A, E, a, TA, TE A B 1. Lagerreaktionen: F FA FB Gesucht: 1. Lagerreaktionen an den Einspannstellen A und B 2. Normalspannungen im Stab 3. Endtemperatur TE , für die die Normal- spannung s am Lager B Null wird. z1 z2  : FA + F - FB = 0  FB = FA + F (1) FA FL1 = FA z1 Hinweis: Mit (1) liegt eine Gleichung für zwei unbe-kannte Lagerreaktionen FA und FB vor. Allein daraus lassen sich die Lagerreaktionen also nicht berechnen! Das bedeutet  Das Problem ist statisch unbestimmt!  Zur Lösung muss das Verformungsverhalten des Stabes betrachtet werden! F FA z2 FL2 = FA+F Bild Eingespannter Stab mit Einzellast und Temperaturbelastung Mit den Schnittgrößen, die in Bild 2.23 bereits als Zwischenergebnis eingetragen sind und mit T = TE - TA (siehe Seite 179) können wir die Verschiebungen in den zwei Bereichen des Stabes mit Hilfe von Gleichung (2.25) aufschreiben. ? Ende

? 1. Bereich 0  z1  l1: 2. Bereich 0  z2  l2:
Die Verschiebungen müssen noch folgende Rand- und Übergangsbedingungen erfüllen: 1. w1(z1=0)=0 2. w1(z1=l1)=w2(z2=0) 3. w2(z2=l2)=0 Mit der Gleichung (1) und den Bedingungen 1. bis 3. liegen vier Gleichungen für die vier Unbekannten FA, FB, C1 und C2 vor. aus 1.:  C1 = 0 Wir erhalten aus 2.:  aus 3.:  In der letzten Gleichung ist nur noch FA unbekannt und es folgt durch Auflösen nach FA (2) Aus (1) FB = FA + F folgt mit (2): (3) ? Ende

2. Normalspannungen: Mit der Lagerreaktion FA nach Gleichung (2) sind die Schnittgrößen (siehe Bild 2.23) berechenbar. Damit erhalten wir aus Gleichung (2.19) die Normalspannungen zu: 1. Bereich: 0  z1  l1 (4) 2. Bereich: 0  z2  l2 (5) 3. Endtemperatur TE , für s = 0 am Lager B Aus (5) folgt mit der Bedingung s(z2=l2) = 0: (6) Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir aus (2) bis (6): 1.Lagerreaktionen: Hinweis: Man beachte die stark überwiegenden Anteile (jeweils zweites Glied in den Klammern) bei den Lagerreaktionen und bei den Spannungen aus der Temperaturbe-lastung DT ! 2. Spannungen: 3. Endtemperatur: ? Ende

2.2.2 Flächenpressung Als Flächenpressung p bezeichnet man die Druckbeanspruchung normal zur Berührungs-ebene zweier Körper (Berührungsspannung). Die sich berührenden Flächen können dabei eben oder gekrümmt sein. • A mg FN b) mg g Bereich der Flächenpressung m • a) Bild Flächenpressung in ebenen Berührungsflächen reale Verteilung von p p=konst. (Annahme) p d) c) reale Verteilung von p Beachte: Die reale Verteilung der Flächenpressung p (Bild 2.24 c zeigt eine realitätsnahe Verteilung) ist von der Geometrie und den Steifigkeiten der sich berührenden Körper abhängig und kompliziert zu berechnen. Um eine für die praktische Anwendung handhabbare Berech-nungsmöglichkeit zu erhalten, arbeitet man mit vereinfachenden Annahmen über die Verteilung der Flächenpressung in der Kontaktebene (vgl. Bild 2.24 d). ? Ende

? Ebene Berührungsflächen
Annahme: Die Flächenpressung p sei konstant über die Berührungsfläche A verteilt. Diese Annahme würde richtig sein, wenn man ideal starre Körper mit ideal ebenen Berührungs-flächen A voraussetzen könnte, was in der Praxis natürlich nie zutrifft. Trotzdem kann in der Anwendung oft die obige Annahme getroffen werden. Für die Flächenpressung p in ebenen Berührungsflächen (vgl. Bild 2.24 b und d) gilt dann mit FN - Druckkraft senkrecht zur Berührungsfläche A (2.27) Für einen Spannungsnachweis, eine Dimensionierung oder eine Belastbarkeitsrechnung bezüglich der Flächenpressung muss die Bedingung p  pzul erfüllt werden. Aus dieser Ungleichung lässt sich dann die gesuchte Größe ermitteln. Hinweis: Zulässige Werte für pzul werden in der Regel durch das „weichere“ Material der Materialpaarung bestimmt. Absolute Größen können allgemein nicht angegeben werden, da spezielle Einsatzbedingungen wie Verschleiß, Dauerfestigkeit usw. die Größe wesentlich bestimmen. Der Maximalwert für p ist theoretisch die Bruchspannung des Materials. Material pzul in N/mm2 gewachsener Boden 0,25 Mauerwerk 0,75 Stahl 100 Tabelle 2.5 Richtwerte für pzul ? Ende

Beispiel 2.4 Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler
Ein Doppel-T-Träger liegt auf zwei Stützpfeilern auf. Die Belastung F wird symmetrisch eingeleitet. Schnitt an der Kontaktfläche F L B FN=F/2 B p L Bild Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler Für die Flächenpressung zwischen Stahlträger und Stützpfeiler folgt mit (vgl. Bild 2.25) (Normalkraft) und A = B  L (Auflagefläche) aus Gleichung (2.27) ? Ende

Beispiel 2.5 Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager
Gekrümmte Berührungsflächen (Zapfenlagerung, Gleitlager, Bolzen und Niete in Bohrungen usw.) Annahme: Die Komponente der Flächenpressung in Richtung der resultierenden Druckkraft FD sei konstant über die zu FD senkrechte Projektionsfläche AProj verteilt. Mit dieser Annahme gilt: mit FD - Druckkraft senkrecht zur Projektionsfläche AProj (2.28) Beispiel 2.5 Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager F b r Bild Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager FD = 2F (Druckkraft) AProj = 2rb (Projektionsfläche) Für die Flächenpressung zwischen Welle und Gleitlager folgt mit (vgl. Bild 2.26): FD = 2F p aus Gleichung (2.28) AProj tatsächlich belastete Fläche Die Flächenpressung zwischen einer Welle bzw. einem Bolzen und der Gleitlager- bzw. Bohrungswand heißt auch Lochleibungsdruck. ? Ende

Hinweis: Die obige Annahme einer konstanten Verteilung der Flächenpressung über die projizierte Fläche AProj liefert die gleiche resultierende Druckkraft FD wie die Annahme einer konstant verteilten Flächenpressung p senkrecht zur Berührungsfläche. Mit der folgenden Rechnung soll diese Aussage für das Beispiel 2.5 bewiesen werden. p FD Bild Resultierende für p = konst. über Halbkreisfläche r Tiefe der Bohrung b Hinweis: Die reale Verteilung von p ist von der Geometrie und den Steifigkeiten abhängig und kompliziert zu berechnen. Für eine Welle in einem Lager (ohne Spiel) könnte der Verlauf beispiels- weise wie folgt aussehen: dAProj = dAsinj dF = pdA  dA  dA = brdj Bild Realitätsnaher Lochleibungsdruck FD  pmax p(j) = pmaxsin j dFV = pdAsinj Es gilt (vgl. Bild 2.27): dFV = p sinj dA = p sinj brdj Die Integration über den Halbkreis liefert:  FV = pbr2 = pAProj = FD (Was zu beweisen war!) Bedeutung hat die Flächenpressung bei der Auslegung von Gewinden, Klemm- und Presssitzen, Kupplungen, Passfedern und Keilen, Stiftverbindungen usw. Hier sind häufig auch spezielle Berechnungsvorschriften zu beachten. Hinweis: Genauere Untersuchungen der Flächenpressung können nach der Theorie von H. HERTZ vorgenommen werden. Man spricht dann auch von HERTZscher Pressung. ? Ende

2.3 Biegung 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen ?
Das Ziel in diesem Kapitel ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Balken infolge der Biegemomente Mbx und Mby. 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen Wir betrachten zunächst einen geraden, prismatischen Balken mit der Balkenachse z und den Querschnittsachsen (x,y), der auf reine Biegung um die x-Achse (Mbx = konst., Mby = 0, FQy = 0, FL = 0) belastet ist (Bild 2.29, links). Eine endgültige Festlegung der Lage und der Orientierung des Koordinatensystems relativ zum Querschnitt ergibt sich aus den Annahmen und Schlussfolgerungen des Kapitels Beispiel für reine Biegung: M0 F a Beispiel für reine Biegung und Querkraftbiegung: • Balkenachse x y z • x y z Balkenachse Mbx = M0 + FQy = 0 FQy + - F reine Biegung Querkraft-biegung Bild Reine Biegung und Querkraftbiegung Fa + Mbx Hinweis: Die im Folgenden hergeleiteten Formeln lassen sich auch mit guter Näherung für schwach gekrümmte Balken, Balken mit stetig veränderlichen Querschnitten und Balken mit Querkraftbiegung (Mbx = Mbx(z), FQy  0, siehe Bild 2.29, rechts) anwenden. ? Ende

Durch die Biegemomentenbelastung Mbx entstehen im Querschnitt Normalspannungen sz senkrecht zur Querschnittsfläche, die bei reiner Biegung keine resultierende Kraftwirkung haben und deshalb in einem Teil des Querschnitts positiv (Zugspannungen) und im anderen Teil negativ (Druckspannungen) sein müssen (siehe Bild 2.30 weiter unten). Diejenige Balkenachse, für die die Normalspannungen sz (und damit auch die Dehnungen ez) Null sind, bezeichnen wir als neutrale Faser oder als neutrale Schicht. Die positiven und negativen Normalspannungen sz erzeugen Dehnungen ez in z-Richtung, die zu einer Krümmung (Biegeverformung) der ursprünglich geraden Balkenachse führen. Zur Berechnung der Normalspannungen sz und der Biegeverformungen ist eine Annahme von J. BERNOULLI, die so genannte BERNOULLI-Hypothese oder auch Normalenhypothese, Grundlage der elementaren Biegetheorie. Bernoulli-Hypothese: Eine im unverformten Zustand senkrecht zur Balkenachse stehende ebene Querschnitts-fläche, bleibt bei einer reinen Biegeverfor-mung eben und steht senkrecht zur verformten Balkenachse (Bild 2.30). Mbx verformte Balkenachse  neutrale Faser (Spannung sz = 0 und Dehnung ez = 0) Balkenachse Bild Verformungen nach der BERNOULLI-Hypothese z y x • . . Druckspannungen Zugspannungen ? Ende

2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung
Hinweis: Die BERNOULLI-Hypothese trifft für die Querkraftbiegung nicht zu, da es infolge von Schubspannungen t zu Gleitungen g und damit zu einer Verwölbung des Querschnitts kommt. Mit der Annahme der BERNOULLI-Hypothese vernachlässigen wir also die Wirkung der Schubspannungen. Das hat sich in der Praxis jedoch bewährt, da bei Balkentragwerken der Schubeinfluss im Verhältnis zu den Biegenormalspannungen gering ist. 2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung Definition: Man spricht von gerader Biegung, wenn es bezüglich der (x,y)-Achsen nur ein Biegemoment Mbx mit daraus folgender Biegeverformung in der (y,z)-Ebene bzw. nur ein Moment Mby mit Biegeverformung in der (x,z)-Ebene gibt. Mit den Voraussetzungen (vgl. Bild 2.31), dass nur Mbx wirkt und damit die Biegeverformung in der (y,z) -Ebene erfolgt, Mbx dA szdA P die Dehnungen und die Spannungen unabhängig von x sind, Bild Normalspannung sx infolge Mbx die Balkenachse z in der neutralen Faser liegt, neutrale Faser (Schicht) z x y die Querdehnung in x- und y-Richtung unbehinderte sind (x = 0, y = 0), T = 0 ist, gilt nach dem HOOKEschen Gesetz für die Spannung sz infolge eines Biegemomentes Mbx für einen beliebigen Punkt P im Querschnitt z (siehe Bild 2.31) (2.29) ? Ende

Infolge dieser Spannungen (2
Infolge dieser Spannungen (2.29) krümmt sich ein ursprünglich gerades Balkenelement der Länge dz. Die Endquerschnitte bleiben wegen der Annahme der BERNOULLIschen Hypothese eben und stehen senkrecht zur gekrümmten Balkenachse (neutrale Faser, siehe Bild 2.32). Alle Fasern mit y ¹ 0 erfahren dadurch eine Dehnung. dj r dz Mbx y ds P neutrale Faser Die Dehnung ez einer Faser im Abstand y von der neutralen Faser (diese dehnt sich nicht!) wird dz Bild Verformung eines differentiellen Balkenelements dz y P mit r(z) - Krümmungsradius. Setzen wir diese Dehnung in die Gleichung (2.29) ein, so folgt für die Normalspannung (2.30) Den in Gleichung (2.30) noch unbekannten Krümmungsradius r(z) und die Lage der neutralen Faser erhalten wir aus den folgenden Äquivalenzbedingungen zwischen der Spannung sz und den Schnittgrößen im Querschnitt z. Da nur das Biegemoment Mbx wirken soll, gibt es keine resultierende Längskraft FL und kein resultierendes Moment Mby. ? Ende

   ? Daraus folgt: erfüllt für
Folgerung: Sx ist genau dann Null, wenn die x-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verläuft (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129). Das bedeutet, die neutrale Faser und damit die Balkenachse z muss durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen.  erfüllt für Folgerung: Ixy ist genau dann Null, wenn die x-Achse und die y-Achse durch den Flächenschwerpunkt S verlaufen und Hauptachsen des Querschnitts sind (vgl. Kapitel , S 141 ff.).  (2.31) mit (vgl. Kapitel , S 134) Setzen wir (2.31) in (2.30) ein, so erhalten wir die Normalspannung sz für die gerade Biegung um die x-Achse infolge eines Biegemomentes Mbx zu (2.32) ? Ende

Zusammenfassung: Ist (x,y,z) ein Hauptzentralachsensystem, so berechnen sich die Spannungen sz(y,z) infolge einer Biegemomentenbelastung Mbx um die x-Achse (Biegeachse) aus der Gleichung (2.32) Hinweis: Die Spannung ist unabhängig vom Elastizitätsmodul E des Materials! Die Normalspannungen sz(y,z) infolge Mbx sind linear über den Querschnitt verteilt und werden für y=0 (neutrale Faser) Null. e1 e2 sz1 sz2 x y S Mbx Mbx Die größten Normalspannungen treten in Punkten mit den größten Abständen von der x-Achse auf. So sind z. B. in Bild 2.33 bei einem Biegemoment Mbx > 0 die größten positiven Spannungen (sz1 > 0) bei y = e1 und die größten negativen Spannungen (sz2 < 0) bei y = -e2 vorhanden. Allgemein gilt für die Randspannungen: Bild Normalspannungsverteilung Wbx1 und Wbx2 sind die so genannten (Biege-) Widerstandsmomente (rein geometrische Querschnitts-kenngrößen), die für genormte Querschnitte in Tabellenform verfügbar sind (siehe z. B. Tabelle 2.6). Mit diesen Biegewiderstandsmomenten kann man den in der Praxis oft benötigten Betrag der maximalen Normalspannung im Querschnitt z schnell angeben. (2.33) Es wird: ? Ende

Beispiel 2. 6 Träger mit Streckenlast und Einzellast (vgl. Beispiel 1
Beispiel 2.6 Träger mit Streckenlast und Einzellast (vgl. Beispiel 1.17, S 99) Gegeben: q = 20 N/cm, a = 0,5 m, b = 2 cm, h = 3 cm Gesucht: Ort und Größe der maximalen Biegespannung A B 2a a q F = qa z1 y1 h b y x Den Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment Mbx übernehmen wir vom Beispiel 1.17, S 103. B Mbx-Verlauf q0a2 1 8 _ Die größten Biegespannung im Träger treten an der Stelle des vom Betrag größten Biegemomentes Mbx = -q0a2 am Lager B auf. Im Querschnitt an diesem Lager ergeben sich die maximalen Spannungen am Rand y = emax = h/2. Bild Träger mit Streckenlast und Einzellast Mit den Querschnittsgrößen eines Rechteckquerschnitts (siehe Kapitel , Tabelle 1.5, S 97) (1) folgt für den Spannungsverlauf über den Querschnitt am Lager B (Stelle z1 = 2a oder z2 = 0) aus (2.32) (2) ? Ende

Die größten Spannungen am Lager B erhält man aus (2) für y = ±h/2 am unteren bzw. am oberen Rand.
Unterer Trägerrand bei B: Oberer Trägerrand bei B: Die vom Betrag größte Spannungen am Lager B folgt auch aus Gleichung (2.33) mit dem Widerstandmoment Wbxmin aus Gleichung (1) zu: ? Ende

Beispiel 2. 7 Dimensionierung eines T-Trägers (vgl. Beispiel 1
Beispiel 2.7 Dimensionierung eines T-Trägers (vgl. Beispiel 1.16, S 98) Gegeben: F = 2000 N, a = 0,5 m, szul = 240 N/mm2 Gesucht: Hochstegiger T-Träger nach DIN 1024 a F 2F A B z1 y1 z2 z3 z4 nach DIN 1024 Hinweis: Das ist eine in der Praxis häufig vorkommende Dimensionierungsaufgabe bezüglich Festigkeit, d. h. der Querschnitt muss so bestimmt werden, dass |sz|max< szul wird. 7 2 Mb max= Fa + Mb - Verlauf Den Biegemomentenverlauf Mb übernehmen wir vom Beispiel 1.16, S 98. Für die vier Bereiche mit konstantem Querschnitt werden an der Stelle des größten Biegemomentes Mbmax (vgl. Bild 2.35) die Spannungen maximal. Diese maximale Spannung muss die folgende Bedingung erfüllen: Bild Dimensionierung eines T-Trägers Aus der Ungleichung (1) kann Wbxmin bzw. ein typischer Querschnittswert des vorgegebenen Querschnitts be-stimmt werden. Bei genormten Quer-schnitten findet man Wbx in entspre-chenden DIN-Tabellen (Tabelle 2.6). (1) Tabelle 2.6 Auszug aus DIN 1024 Auszug aus DIN 1024 b=h [mm] A [cm2] e [cm] Ix [cm4] Wx [cm3] Iy Wy ... 80 90 13,6 17,1 2,22 2,48 73,7 119 12,8 18,2 37,0 58,5 9,25 13,0 T 90 Aus der Tabelle 2.6 wählen wir einen T-Träger, für den wegen (1) gilt. b h x y e gilt. Das ist der T-Träger T 90, der die Bedingung (1) erfüllt: ? Ende

2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung
Für die Berechnung der Verformungen sollen die in den Kapiteln und getroffenen Annahmen und Voraussetzungen ebenfalls gelten. Sie sollen hier wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung nochmals angegeben werden: Das HOOKEschen Gesetz und die BERNOULLI-Hypothese sollen gelten. Es liegt reine Biegung vor (Biegemoment ist konstant). Eine Anwendung auf veränderliche Biegemomente kann mit ausreichender Genauigkeit vorgenommen werden. Die Biegung erfolgt um eine Hauptzentralachse des Querschnitts. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir zunächst an, dass dies die x-Achse sei. x y z unverformte Balkenachse • dz Wir definieren die Biegeverformung v(z) als die Verformung der neutralen Faser in y- Richtung infolge eines Biegemomentes Mbx(z). Die Funktion der Biege-verformung v(z) wird auch Biegelinie genannt (siehe Bild 2.36). v(z) verformte Balkenachse (Biegelinie) F Bild Definition der Biegeverformung v(z) Die neutrale Faser eines differentiellen Elementes dz des Trägers erfährt infolge der Biegebelastung eine Krümmung k (Bild 2.37 links), die der Kehrwert des Krümmungsradius r(z) ist. Bild Krümmung infolge Mbx (links) und mathematische Definition einer positiven Krümmung (rechts) dj r(z) dz v(z) Mbx . z y r dx y(x) y x Definition der mathematisch positive Krümmung: dj . (2.34) Nach Kapitel 2.3.2, Gleichung (2.31), folgt damit für die Krümmung ? Ende

Die mathematische Definition der positiven Krümmung einer Funktion y(x) ist in Bild 2.37 rechts dargestellt und berechnet sich aus (2.35) Der Vergleich der beiden Krümmungen in Bild 2.37 zeigt, dass nach unseren Definitionen der positiven Verformung v(z) und des positiven Biegemomentes Mbx ein positives Biegemoment eine negative Krümmung k der Biegelinie v(z) erzeugt. Das bedeutet, dass beim Einsetzen von Gleichung (2.35) in (2.34) – wobei für y(x) º v(z) zu setzen ist – dieses unterschiedliche Vorzeichen in der Krümmung berücksichtigt werden muss. Es folgt: (2.36) Hinweis: Mit dieser nichtlinearen Differentialgleichung (2.36) muss bei der Berechnung von großen Verformungen im elastischen Bereich gerechnet werden! Setzen wir nachfolgend kleine Verformungen v(z) voraus (vgl. Kapitel 2.1.1), so wird v¢(z) sehr klein, so dass [v¢(z)]2 gegenüber der „1“ im Nenner der Gleichung (2.36) vernachlässigt werden kann. Wir erhalten für kleine Verformungen aus Gleichung (2.36) die so genannte Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung in der Form bzw. (2.37) Das Produkt E·Ixx nennt man auch Biegesteifigkeit. ? Ende

Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung (2
Wird die Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) zweimal differenziert, so folgt Mit den differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen und der Linienlast qy (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95) erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung in der Form (2.38) und für den häufigen Fall konstanter Biegesteifigkeit EIxx = konst. (2.39) ? Ende

? Lösung der Differentialgleichung (DGL)
Die relativ einfache gewöhnliche DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. die DGL 4. Ordnung (2.38) oder (2.39) lässt sich in der Regel wie folgt lösen: Die DGL wird bereichsweise (Bereichseinteilung wie bei der Schnittgrößenberechnung) durch zweimalige bzw. viermalige Integration gelöst. Veränderliche Biegesteifigkeiten EI bringt man zweckmäßig auf die rechte Seite der DGL. Die Lösung enthält bei n Bereichen: 2n Integrationskonstanten (DGL 2. Ordnung) bzw. 4n Integrationskonstanten (DGL 4. Ordnung). Die Integrationskonstanten werden aus Rand- und Übergangsbedingungen (RB) an den Bereichsgrenzen ermittelt (siehe z. B. Tabelle 2.7 auf der nächsten Seite): - v und v ¢ (v ¢ = tanj, wobei j der Winkel von der z-Achse zur Tangente an die Bieglinie ist und auch Biegewinkel genannt wird) bei der DGL 2. Ordnung (auch als geometrische RB bezeichnet), - Mbx = -EIv ¢¢ und FQy = M¢bx = -(EIv ¢¢)¢ bei der DGL 4. Ordnung (auch als dynamische RB bezeichnet). Frage: Welche der beiden Differentialgleichungen (2. oder 4. Ordnung) verwendet man zur Berechnung der Biegeverformung (oder kurz der Verschiebung)? Die DGL 2. Ordnung wird dann benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf bereits bekannt ist bzw. in einfacher Weise berechenbar ist. Empfehlung: Die DGL 4. Ordnung wird benutzt, wenn der Biegemomentenverlauf schwierig zu berechnen ist (z. B. bei komplizierten Belastungsfunktionen qy(z)). Jedoch erhält man in jedem Bereich vier Integrationskonstanten, so dass entsprechend mehr Rand- und Übergangsbedingungen aufgeschrieben werden müssen. ? Ende

? v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 Mbx (z=a) = - M0
Tabelle 2.7 Beispiele für Rand- und Übergangsbedingungen DGL 2. Ordnung DGL 4. Ordnung a F M0 z y,v Biegelinie v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 v (z=0) = 0 Mbx (z=a) = - M0 FQy (z=a) = F M0 F FQy(z=a) Mbx(z=a) dz a z1 y1,v1 b z2 y2,v2 Biegelinie v1(z1=0) = 0 v1(z1=a) = 0 v2(z2=0) = 0 v1 (z1=a) = v2 (z2=0) RB wie DGL 2. Ordnung und zusätzlich noch Mbx1(z1=0) = 0 Mbx1(z1=a) = Mbx2(z2=0) Mbx2 (z2=b) = 0 FQy2 (z2=b) = 0 Beachte: • Bei statisch bestimmten Systemen ist die Anzahl der Randbedingungen gleich der Anzahl der Integrationskonstanten. • Bei statisch unbestimmten Systemen gibt es in Abhängigkeit vom Grad der statischen Unbestimmtheit entsprechend mehr Randbedingungen. ? Ende

Beispiel 2.8 Verformungen eines Trägers auf zwei Stützen (statisch bestimmt)
Gegeben: q, a, b, EI = konst. a b A B q C EI Biegelinie vC jB Gesucht: Biegelinie, Verschiebung vC bei C und Neigung jB (Biegewinkel) bei B Mit den Definitionen der Lagerreaktionen und der Bezugssysteme nach Bild 2.38 folgt nach kurzer Rechnung für die Lagereaktionen und für die Schnitt-größen in den beiden Bereichen: Schnittbild für Lagerreaktionen und Biegemomente: a b A B q C FAV FAH FB Bild Träger auf zwei Stützen, Biegelinie, Lagerreaktionen, Bezugssysteme z1 y1,v1 z2 y2,v2 Hinweis: Da hier der Biegemomentenverlauf in den zwei Bereichen bekannt ist (siehe oben), bietet sich die Berechnung der Verformungen mit der Differentialgleichung 2. Ordnung (2.37) an. Die Differentialgleichung 2. Ordnung schreiben wir nachfolgend für beide Bereiche auf und ermitteln die Verschiebungsfunktion (Biegelinie) durch zweimalige Integration. ? Ende

 mit (2):  mit (2):  mit (4):  mit (1) und (3): ? Es folgt:
1. Bereich (0  z1  a): 2. Bereich (0  z2  b): (1) (3) (2) (4) Die vier Integrationskonstanten c1 bis c4 folgen für diese statisch bestimmte Aufgabe aus vier Randbedingungen (siehe auch zweites Beispiel in Tabelle 2.7). Es ergibt sich mit den Gleichungen (1) bis (4): 1. v1(z1=0) = 0  mit (2):  mit (2): 2. v1(z1=a) = 0  mit (4): 3. v2(z2=0) = 0  mit (1) und (3): (5) 4. v1(z1=a) = v2(z2=0) Aus (5) folgt mit c1 noch die Konstante c3 zu ? Ende

Mit diesen Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien aus (2) bzw. (4) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien: 1. Bereich: (6) 2. Bereich: (7) Die Verschiebung vc bei C folgt aus der Biegelinie (7) zu: (8) Der Biegewinkel j(z) kann aus der ersten Ableitung der Biegelinie ermittelt werden, denn es gilt allgemein Für die allgemein vorausgesetzten kleinen Verformungen sind auch die Biegewinkel klein und es kann gesetzt werden. Damit folgt für den Biegewinkel (2.40) (9) Mit der Ableitung der Biegelinie (1) folgt für den Biegewinkel bei B aus Gleichung (2.40) ? Ende

? Hinweis: Wegen der 4. Randbedingung gilt natürlich auch
Frage: Welches System entsteht, wenn die Länge a des 1. Bereichs gegen Null geht? Für a = 0 verbleibt von den zwei Bereichen nur der zweite Bereich der Länge b mit einer Biegelinie, die sich aus (7) ergibt. Die Verschiebung vC bei C kann aus (8) mit a = 0 oder aus der neuen Biegelinie mit z2 = b ermittelt werden. Wir erhalten für a = 0: q B C vC b Biegelinie EI y2, v2 z2 Bild 2.39 Für den Biegewinkel bei B erhält man mit a = 0 aus (9) den Wert Null. Die Verschiebung ist natürlich wegen der 3. Randbedingung nach wie vor Null. Diese Ergebnisse entsprechen genau den Ergebnissen eines bei z2 = 0 eingespannten Trägers (Kragträger) der Länge b mit einer konstanten Linienlast (Bild 2.39). Begründung: Der 1. Bereich wird für kleiner werdende Werte a immer „steifer“, bis er bei a = 0 in eine Einspannung übergeht. ? Ende

Beispiel 2.9 Abgewinkelter Träger (statisch unbestimmt)
Gegeben: F, a, b, EI=konst. Gesucht: Lagerreaktionen, Biegelinie, Verschiebung bei B, Biegewinkel bei B und C a b A B F EI C a b A B F C FAH FB FAV MA z1 y1,v1 z2 y2,v2 Hinweis: Freiheitsgrad f = 3 - b = 3 - (3+1) = -1  1-fach statisch unbestimmt! b = 3 b = 1 D. h., Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nicht allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechenbar. Es werden Verformungsbetrachtungen, z. B. mit Hilfe der Biegelinie, notwendig. Bild Abgewinkelter Träger Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Schnittskizze in Bild 240):  : FAH = FB (1)  : FAV = F (2) A : MA = Fa-FBb (3) In den 2 Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) sind noch 3 Unbekannte enthalten. Ihre Größe ist von den Steifigkeiten bzw. Verformungen des Systems abhängig. Wir betrachten die Verformungen (Biegelinie) des Systems, um eine zusätzliche Gleichung zur Berechnung aller Unbekannten zu erhalten. Dazu benötigen wir den Biegemomentenverlauf. Biegemomentenverlauf (vgl. Schnittbilder von Bild 2.41): Bereich 1: b-z2 FB C Mbx(z2) z2 y2,v2 Bild Bereich FAV MA A FAH z1 y1,v1 Mbx(z1) Bild Bereich Bereich 2: Mbx(z1) = - MA + FAVz1 Mbx(z1) = - F(a - z1) + FBb Mbx(z2) = FB(b - z2) ? Ende

 mit (5):  mit (4):  mit (7):  mit (7):  mit (4) und (6): ?
Aus der DGL 2. Ordnung (2.37) folgt mit den Biegemomenten und nach zweimaliger Integration: 1. Bereich: 2. Bereich: (4) (6) (5) (7) Für diese statisch unbestimmte Aufgabe lassen sich die folgenden fünf Randbedingungen angeben. Diese ergeben zusammen mit den drei Gleichgewichtsbedingungen acht Gleichungen für die acht Unbekannten FAH, FAV, MA, FB und c1 bis c4. Bei dieser Aufgabe ist aus der Gleichgewichtsbedingung (2) FAV bereits bekannt, so dass sich die Anzahl der Unbekannten auf sieben reduziert.  mit (5): 1. v1 (z1=0) = 0  mit (4): 2. v1(z1=0) = 0  mit (7): 3. v2 (z2=0) = 0  mit (7): 4. v2 (z2=b) = 0  mit (4) und (6): (8) 5. v1(z1=a) = v2(z2=0) ? Ende

Aus der Gleichung (8) folgt mit den Konstanten c1 und c3 die Lagerreaktion FB zu:
Mit FB folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen (1) und (3) die restlichen Lagerreaktionen FAH und MA, und es lassen sich noch die Konstanten c3 und c4 berechnen. Wir erhalten und sowie und Mit FB und den Integrationskonstanten lassen sich jetzt die Biegelinien (5) und (7) aufschreiben. Wir erhalten für die Biegelinien (qualitative grafische Darstellung siehe Bild 2.42): 1. Bereich: 2. Bereich: Die Verschiebung bei B (vgl. Bild 2.42) folgt mit z1 = a aus der Biegelinie des 1. Bereichs zu: ? Ende

Für den Biegewinkel gilt allgemein die Gleichung (2. 40) j @ v ¢
Für den Biegewinkel gilt allgemein die Gleichung (2.40) v ¢. Damit folgt aus (4) und (6) nach dem Einsetzen von FB und der Integrationskonstanten der Verlauf der Biegewinkel (die Biege-winkel lassen sich auch aus der ersten Ableitung von v1(z1) und v2(z1) berechnen): 1. Bereich: 2. Bereich: A B F a C b Die Biegewinkel bei B und C werden damit (vgl. Bild 2.42): vB= v1(z1=a) jB -jc vB Biegelinie Bild 2.42 Verformtes System Bild 2.43 Kragträger mit Einzellast F B a vB jB Biegelinie Hinweis: Für b   wird der 2. Bereich so „biegeweich“, dass sein Einfluß auf den 1. Bereich praktisch verschwin-det. Aus dem 1. Bereich ergeben sich damit die Lösungen für einen Kragträger (Bild 2.43) mit Einzellast bei B. ? Ende

Beispiel 2.10 Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast
z Gegeben: q0, a, EI=konst. Gesucht: Lagerreaktionen, Schnittgrößenverläufe, Biegelinie, Biegewinkel Wegen der komplizierteren Belastungsfunktion q(z) (vgl. Bild 2.44) soll hier die Lösung mit Hilfe der DGL der Biegelinie 4. Ordnung (2.39) erfolgen. Wir setzen die Belas-tungsfunktion q(z) in (2.39) ein und integrieren viermal. A B a FB FAH FAV z y,v (1) Bild Träger mit quadratischem Verlauf der Linienlast (oben); Definition der Lager-reaktionen (unten) (2) Randbedingungen: 1. v(z=0)=0  c4=0 (3) 2. Mbx(z=0)=-EIv(0)=0  c2=0 (4) 3. Mbx(z=a)=-EIv(a)= 0 4. v(z=a)=0 ? Ende

? Aus der 3. Randbedingung folgt mit (2):
und mit c1 Mit den Integrationskonstanten folgt aus (4) nach einigen Umformungen die Biegelinie und durch Differentiation der Biegelinie der Biegewinkel, der auch aus (3) berechnet werden könnte. Biegelinie Biegewinkel Die Biegelinie und der Biegewinkel sind qualitativ in Bild 2.45 dargestellt. Bild Biegelinie und Biegewinkel A B z y, v v(z) q(z) j(z)  v(z) Beachte: Die Biegelinie und der Biegewinkel konnten ohne Berechnung der Schnittgröße Mbx(z) ermittelt werden. Darin besteht unter anderem der Vorteil der Anwendung der Differentialgleichung 4. Ordnung. Bei der Anwendung der DGL 2. Ordnung hätte man zunächst das Biegemoment Mbx(z) berechnen müssen. ? Ende

Für die Berechnung der Schnittgrößen und Lagerreaktionen werden noch die höheren Ableitungen der Biegelinie benötigt. Die zweite und dritte Ableitung der Biegelinie lautet: (5) (6) Der Biegemomentenverlauf kann bei bekannter Biegelinie und deren Ableitungen sofort aus der Differentialgleichung 2. Ordnung berechnet werden. Aus Gleichung (2.37) folgt mit Gleichung (5): Mbx(z)= - EIv(z) Die Querkraft folgt aus der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (siehe Kapitel 1.6.3, Gleichung (1.25), S 95) und (6) zu: FQy(z)= Mbx(z)= - EIv(z) (7) ? Ende

Zur Berechnung der Lagerreaktionen führen wir in einem differentiellen Abstand dz vom Lager einen Schnitt und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen am jeweiligen freien Teilsystem (Bild 2.46) auf. Schnitt im differentiellen Abstand dz von A: Bild Schnitt bei A (oben); Schnitt bei B (unten) A FQy(z=0) FAH FAV dz y,v q(z)  mit (7):  : FAV = FQy(z=0) Schnitt im differentiellen Abstand dz von B:  mit (7): B FB z=a y,v dz FQy(z=a) q(z)  : FB = - FQy(z=a) ? Ende

2.3.4 Schiefe Biegung Definition: Schiefe Biegung liegt vor, wenn der resultierende Biegemomentenvektor Mb nicht mit einer der beiden Hauptzentralachse x bzw. y des Querschnitts zusammenfällt. Wir zerlegen den Biegemomentenvektor Mb in seine Komponenten in x- und y-Richtung, wobei wir die positive Definition der Schnittgrößen (siehe Kapitel 1.8.4, S 123) benutzen. Damit lässt sich die schiefe Biegung als Überlagerung zweier gerader Biegungen um die Hauptzentralachsen x und y behandeln (vgl. Gleichung (2.41) und Bild 2.47 weiter unten). Deshalb wird sie auch als Biegung um zwei Achsen bezeichnet. = schiefe Biegung (Biegung um die x- und die y-Achse) S Mb x y Für den in Bild 2.47 dargestell-ten Fall der Überlagerung zweier gerader Biegungen ergibt sich folgende Spannungsformel, die sich additiv aus der Gleichung (2.32) für die Biegung um die x-Achse und der analogen Glei-chung für die Biegung um die y-Achse zusammensetzt: S x y Mbx gerade Biegung um die x-Achse Bild Überlagerung zweier gerader Biegungen zur schiefen Biegung (Biegung um zwei Achsen) + S x y Mby gerade Biegung um die y-Achse (2.41) ? Ende

Beachte: Aus der Gleichung (2
Beachte: Aus der Gleichung (2.41) liest man ab, dass die Biegespannung sz sowohl in x- als auch in y-Richtung linear über den Querschnitt verteilt ist (vgl. Bild 2.48). Bild Überlagerung der Spannungen bei schiefer Biegung y x S Mbx Biegung um die x-Achse y x S Mby Biegung um die y-Achse + schiefe Biegung y x S Mbx Mby = y y Spannungs-nullinie Beachte: Die vom Betrag größte Biegespannung im Querschnitt z = konst. wirkt in dem Punkt, der die größte senkrechte Entfernung von der Spannungsnulllinie hat (siehe Bild 2.48). Mit der Bedingung sz = 0 folgt aus der Spannungsgleichung (2.41) für die schiefe Biegung eine Geradengleichung, die so genannte Spannungsnulllinie (2.42) Spannungsnulllinie ? Ende

Verformungen bei schiefer Biegung:
x, u y, v z S a Wie bei der Spannungsberech-nung lässt sich die Verformungs-berechnung bei schiefer Biegung als geometrische Überlagerung zweier gerader Biegungen be-rechnen (vgl. Bild 2.49). Sind x und y Hauptzentralachsen mit den Verschiebungen u in x- und v in y-Richtung, so gelten für die Verformungen in beiden Ebenen die DGL 2. Ordnung (2.37) bzw. 4. Ordnung (2.38) unabhängig voneinander. qy qx f(z) f(z=a) v(z) v(z=a) u(z) u(z=a) v(z) Bild Verformung bei schiefer Biegung Es gilt somit für die Verschiebungen u und v: Biegung um die x-Achse: (Verformung v in der yz-Ebene)  DGL 2. Ordnung Biegung um die y-Achse: (Verformung u in der xz-Ebene) (2.43)   DGL 4. Ordnung (2.44)  Die geometrische Addition von u(z) und v(z) liefert die resultierende Gesamtverschiebung f(z) (vgl. auch Bild 2.49): (2.45) ? Ende

? Sonderfall : Kreis- und Kreisringquerschnitt
x y Mbres d x y, v Jede Achse durch den Schwerpunkt des Kreis- bzw. Kreisring-querschnitts ist eine Hauptzentralachse. Deshalb sind für diese Achsen die axialen Flächenträgheitsmomente und die Wider-standsmomente gleich. Die Biegespannung und unter bestimmten Voraussetzungen (siehe unten) auch die Verformung kann nach der Theorie der geraden Biegung berechnet werden. Legt man in Richtung des resultierenden Momentenvektors Mbres eine -Achse, dann gilt: Bild Biegung eines Kreisquerschnitts mit (2.46) und Die vom Betrag maximale Normalspannung infolge Biegung ergibt sich aus (2.47) mit Bleibt die Richtung von Mbres über z konstant, dann gilt die DGL 2. Ordnung in der Form (2.48) (ansonsten Berechnung wie bei der schiefen Biegung - siehe vorige Seite) ? Ende

Beachte: Sind die (x,y)-Achsen keine Hauptzentralachsen, sondern beliebige rechtwinklige Achsen durch den Schwerpunkt S, so gelten folgende Formeln zur Berechnung der Spannungen und Verformungen in einem Querschnitt bei z=konst. infolge einer Biegebeanspruchung. Biegespannung: DGL 2. Ordnung zur Verformungsberechnung: Resultierende Gesamtverschiebung f(z): Hinweis: In diesen Gleichungen sind die Gleichungen für Hauptzentralachsen und für die gerade Biegung als Sonderfälle enthalten. ? Ende

2.4 Querkraftschub 2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung ?
Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen (Schubspannungen t) und Verformungen in geraden Balken infolge der Querkraft FQ. Annahmen Die Querkraft FQ wirkt in Richtung einer Hauptzentralachse des Querschnitts (ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei dies hier die y-Achse). Der Querschnitt sei konstant. Die aus der Querkraft folgenden Schubspannungen t seien parallel zu FQ. Über die Breite des Querschnitts (senkrecht zu FQ bzw. in x-Richtung) sind die Schubspannungen konstant. 2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung Aus einem auf Biegung und Querkraftschub beanspruchten Balken schneiden wir ein Element dz heraus und betrachten eine Schicht im Abstand y mit den Abmessungen dy, b(y), dz und tragen die aus den Spannungen resul-tierenden Schnittgrößen an (Bild 2.51). dy b(y) y szdA dA tzydA tyzdzb(y) dz dz S y x z Mbx FQy Momentengleichgewicht um die Achse a-a liefert (Vernachläs-sigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind): a dy b(y) dA=dyb(y) y tzydAdz -tyzdzb(y)dy = 0. Bild 2.51 ? Ende

tzy = tyz ? Mit dA=dyb(y) folgt
Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen (2.49) Gesetz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen: Schubspannungen in senkrecht aufeinander stehenden Flächen sind gleich groß und entweder auf die gemeinsame Kante zugerichtet oder von ihr weggerichtet (vgl. Bild 2.51). Zur Berechnung der Schubspannungen führen wir am Element dz einen Schnitt bei y = konst. und betrachten das untere abgeschnittene Teilsystem mit der Querschnittsfläche Ay. An den Schnittstellen des abgeschnittenen unteren Teils werden wieder die aus den Spannungen resultierenden Schnittgrößen angetragen (siehe Bild 2.52). Kräftegleichgewicht in z-Richtung am abgeschnittenen Teilsystem liefert: Ay h dh b(y) b(h) szdA tzydA dA= b(h)dh dz S y x z dz S y,h x z Mbx FQy y b(y) Ay Mit dem Gesetz über die zugeordneten Schubspan-nungen (2.49) folgt: Bild Schnitt bei y = konst.; Teilsystem mit Belastungen ? Ende

Mit der Spannungsgleichung (2
Mit der Spannungsgleichung (2.32) und der differentiellen Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Querkraft (vgl. Kapitel 1.6.3, S 95) und folgt für die Schubspannung bei Annahme eines konstanten Querschnitts y b(y) Ay S x FQy SAy ySAy(y) yRand Bild Berechnung von Sx(y) Mit dem auf die x-Achse bezogenen statischen Moment Sx(y) der bei y abgeschnittenen Fläche Ay (siehe Bild 2.53) (2.50) wird die Schubspannung: (2.51) Beachte: Die im Querschnitt bei y = konst. ermittelte Schubspannung tzy in y-Richtung ist auch in einem Längsschnitt in z-Richtung des Balkens in gleicher Größe vorhanden (wegen tyz = tzy). Diese Schubspannun-gen verhindern das gegenseitige Verschieben der Trägerschichten. Bei geklebten, geschweißten, genieteten usw. Schichten müssen die Schubspannungen durch diese Verbindungselemente aufgenommen werden. ? Ende

Beispiel 2.11 Querkraftschubspannungen für Kragträger mit Rechteckquerschnitt
y z h b x Für den Kragträger (Bild 2.54) gilt: FQy = F y S Ay SAy Das statische Moment Sx(y) wird nach Gleichung (2.50) Bild Kragträger FQy x y Damit ergibt sich aus (2.51) für die Schubspannung der folgende quadratische Verlauf (siehe Bild 2.55): tmax t = 0 Bild Schubspannungs-verlauf aus FQy im Rechteckquer-schnitt mit den markanten Werten F tmax Beachte: Die Schubspannung tmax muß vom Material des Trägers in der Schicht y=0 über-tragen werden. F t=0 Würde der Träger aus zwei lose übereinanderliegenden Teilen bestehen (t=0 in der Kontaktebene), so würden sich diese bei der Biegung gegeneinander verschieben. ? Ende

2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftschub
Mit dem HOOKEschen Gesetz (siehe Kapitel , Gleichung (2.15)) lässt sich mit der Schub-spannung tzy nach Gleichung (2.51) für einen auf Querkraftschub beanspruchten Balken die Gleitung (Winkeländerung) wie folgt berechnen: (2.52) Da das statische Moment Sx und gegebenenfalls auch die Breite b Funktionen von y sind, ist die Gleitung ebenfalls von y abhängig, und es kommt deshalb zu einer Verwölbung des Querschnitts (siehe Bild 2.57 a). Die Gleitung gzy hat nach Gleichung (2.52) den gleichen funktionellen Verlauf wie die Schubspannung tzy. a) Verformtes Element infolge der Querkraftschubspannungen y,v z tzy(y,z)+dtzy tzy(y,z) v(z) dv(z) gzy=0 dz gzy max b) Annahme im Querschnitt z: tzy=tm(z), gzy=gm(z) y,v z tm(z)+dtm tm(z) v(z) dv(z) gm(z) dz F y,v z Bild Gleitungen infolge Querkraftschubbelastung dz Um eine Abschätzung der Verschiebung infolge der Schubspannungen aus den Querkräften zu erhalten, wird für jeden Querschnitt z eine mittlere Winkeländerung gm(z) und eine mittlere Schubspannung tm(z) angenommen (vgl. Bild 2.57 b). ? Ende

Aus dem Bild 2.57 b) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Verschiebung v(z) und der mittleren Gleitung gm: Mit dem HOOKEschen Gesetze für den reinen Schub (2.15) infolge der mittleren Schubspannung tm folgt daraus (2.53) Ist tm(z) bekannt, kann aus dieser DGL 1. Ordnung eine Näherungslösung für die Verschiebung v(z) infolge Querkraftschubbelastung ermittelt werden. Im einfachsten Fall bestimmt man die mittlere Schubspannung aus dem Quotienten von Querkraft FQy und der Querschnittsfläche A und korrigiert den Wert mit einem Korrekturfaktor k (Schubverteilungszahl), der den Einfluss der speziellen Querschnittsgeometrie auf die mittlere Schubspannung berücksichtigt. Hinweis: Eine genauere Berechnung der mittleren Schubspannung tm kann dadurch erfolgen, dass die Gleichheit der Formänderungsenergie des realen und des gemittelten Schub-spannungszustandes gefordert wird. Ohne weitere Herleitung soll hier das Ergebnis angegeben werden. (2.54) mit Schubverteilungszahl (2.55) ? Ende

Beispiel 2.12 Verformungen infolge Querkraftschubbeanspruchung
Die Integration von Gleichung (2.54) liefert die gesuchte Verschiebung. (2.56) A - Querschnittsfläche c - Integrationskonstante, die aus einer Randbedingung bestimmt werden muss. Beachte: Die Gleichung (2.56) zur Berechnung von v(z) infolge der Querkraftschubspannungen gilt nur für reine Querkraftbelastung (die es streng genommen nicht gibt) und konstanten Querschnitt. Für kleine Verformungen und schwach veränderliche Querschnitte kann diese Gleichung aber auch für Querkraftbiegung mit ausreichender Genauigkeit verwendet werden. Die Schubverformungen können für lange Träger (Querschnittsabmessungen sehr viel kleiner als die Länge des Trägers) gegenüber den Biegeverformungen im Allgemeinen vernachlässigt werden (siehe das folgende Beispiel). Beispiel Verformungen infolge Querkraftschubbeanspruchung F y, v z l Gegeben: F, l, b, h, E, G Gesucht: Maximale Schubverformung vSmax durch die Querkraft und Vergleich mit der maximalen Biegeverformung vBmax b h x y Querschnitt: dA=bdy Bild Kragträger Es gilt (vgl. Bild 2.58 und Beispiel 2.11): A = bh , FQy = F , ? Ende

? Damit ergibt sich für die Schubverteilungszahl nach Gleichung (2.55)
und wir erhalten aus Gleichung (2.56) Die Integrationskonstante folgt aus der Randbedingung vS(z=0) = 0 Þ c = 0 Damit wird die reine Schubverformung vS(z) und die maximale Schubverformung vSmax am Trägerende bei z = l (siehe Bild 2.59): F Bild Schubverformung und Die durch F hervorgerufene maximale Biegeverformung (siehe Beispiel 2.9, Hinweis am Ende) hat die Größe Beachte: Der Faktor (h/l)2 in der Gesamt-verformung vmax macht für lange Träger den zweiten Klammerausdruck (das ist der Schubverformungsanteil) sehr viel kleiner als 1, so dass dieser Anteil gegenüber der „1“ (Biegeanteil) vernachlässigt werden kann. Gesamtverformung am Trägerende: ? Ende

2.5 Torsion Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verformungen in geraden Stäben infolge eines Torsionsmomentes Mt. Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse z ver-dreht. Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verfor-mungen (Verwölbungen) in Richtung der Stabachse geben. Das folgende Bild 2.60 zeigt drei typische Fälle der Torsionsverformungen in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie. z Mt c) z B • A Mt Mt verformte (verwölbte) Profilmittellinie A B Verwölbung verhindert • Mt j P • z b) z a) Kreis- und Kreisringquerschnitte: Querschnitte bleiben eben (Punkt P vor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)! Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte: Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte A verschieben sich in z-Richtung; Punkte B entgegen der z-Richtung)! Bild Torsion eines: a) Kreisquerschnitts, b) dünnwandigen offenen Querschnitts, c) Rechteckquerschnitts ? Ende

2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten
Hinweis: Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsionsbean-spruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des Stabes ab. Wir beschränken uns nachfolgend auf den einfachsten Fall der in der Praxis häufig vorkommenden Kreis- und Kreisringquerschnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre). 2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten Annahmen und Voraussetzungen In diesem Kapitel sollen folgende Annahmen und Voraussetzungen gelten: Die Balkenachse (z-Achse) ist gerade und die Querschnittsgeometrie unabhängig von z. Es liegt reine Torsionsbeanspruchung vor. Das Torsionsmoment Mt ist konstant und die Resultierende der in tangentialer Richtung verlaufenden Schubspannungen tzj = t (siehe auch Bild 2.62). Die Querschnittsform bleibt bei der Torsion erhalten. Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander und bleiben eben. Die Torsionsverformung wird durch den Verdrehwinkel j beschrieben, der im gleichen Drehsinn wie das Torsionsmoment Mt am positiven Schnittufer positiv gezählt wird (siehe Bild 2.61). ? Ende

2.5.1.2 Berechnung der Torsionsspannung
dz z r • dj j(z) g Mt • R r verformte Mantellinie z • j(z)+dj j(z) dz differentielles Element aus dem Stab links: Bild Verformungen eines auf Torsion beanspruchten Kreisquerschnitts An dem differentiellen Element in Bild 2.61 kann für kleine Verformungen der folgende Zusam-menhang zwischen der Gleitung g und dem Verdrehwinkel j abgelesen werden: Mit der Drillung J folgt aus dieser Formel Drillung (Verdrehwinkel pro Längeneinheit) (2.57) Aus dem HOOKEschen Gesetz (2.12) folgt mit Gleichung (2.57) für die Torsionsschubspannung (2.58) Beachte: Wir erkennen aus (2.58) bereits, dass die Schubspannung t(r) linear von r abhängig ist. Sie wird bei r = 0 Null und hat für r = R ihren größten Wert (siehe auch Bild 2.62). ? Ende

r dA R t(r)dA tmax t(r) Mt Bild 2.62 Torsionsschubspannung Die noch unbekannte Drillung J kann aus einer Äquivalenz-bedingung zwischen dem Torsionsmoment Mt und dem resultierenden Moment der Schubspannungen tzj = t bestimmt werden. Es muss gelten (vgl. Bild 2.62): (2.59) Mit der Abkürzung polares Flächenträgheitsmoment (2.60) folgt aus Gleichung (2.59) bzw. nach der Drillung aufgelöst (2.61) (2.61) in (2.58) eingesetzt liefert die Torsionsschubspannung für Kreis- und Kreisringquerschnitte (2.62) Hinweis: Zum polaren Flächenträgheitsmoment siehe Kapitel , S 134. Danach gilt: Kreisquerschnitt (Durchmesser d): (2.63) Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d): (2.64) ? Ende

Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte treten am Außenrand auf und betragen (siehe dazu auch Bild 2.62): (2.65) mit Wt = Torsionwiderstandsmoment Das Torsionswiderstandsmoment folgt aus Gleichung (2.62) mit r = rmax zu Wt = IP/rmax. Für Kreis und Kreisringquerschnitte erhalten wir damit: für Kreisquerschnitt (Durchmesser d) (2.66) für Kreisringquerschnitt (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d). (2.67) Hinweis: Man beachte die “schöne” Analogie zur Berechnung der Biegespannungen: Torsion: Biegung: Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsschubspannung (2.62) und (2.65) gelten streng genommen nur, wenn gilt: Mt = konst. und It = konst. Auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleichungen mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt: bzw. (2.68) ? Ende

2.5.1.3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel j)
Aus den Gleichungen (2.57) und (2.61) erhalten wir den folgenden Zusammenhang zwischen der Drillung J, dem Verdrehwinkel j und dem Torsionsmoment Mt: (2.69) mit GIP = Torsionssteifigkeit Aus Gleichung (2.69) kann durch Integration der Verdrehwinkel j berechnet werden (vgl. die Analogie zur Verformungsberechnung bei der Zug/Druck-Beanspruchung (Kapitel ): (2.70) Die Integrationskonstante C in (2.70) kann aus einer Randbedingung berechnet werden. j Mt l z j(z) Bild Relativer Verdrehwinkel Relativer Verdrehwinkel Dj Der relative Verdrehwinkel zweier Querschnitte im Abstand l ist wie folgt definiert (vgl. Bild 2.63): (2.71) Beachte: Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsverformungen (2.70) und (2.71) gelten streng genommen nur, wenn gilt: Mt = konst. und It = konst. Aber auch bei einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können sie mit ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden. Es gilt dann: bzw. (2.72) ? Ende

Beispiel 2.13 Abgesetzter Torsionsstab
D d B A C l2 MB MC Gegeben: D = 60 mm, d = 40 mm, l1 = 1 m, l2 = 1,5 m MB = 3 kN m, MC = 0,6 kN m G = 0,8·105 N/mm2 Gesucht: Betragsmäßig größte Torsionsschub-spannung und Verlauf des Verdrehwinkels z1 Mt(z1) Mt(z2) z2 Torsionsmomentenverlauf: Aus den Gleichgewichtsbedin-gungen für die Momente um die Längsachse am jeweils rechten Teilsystem folgt: Mt-Verlauf + 2,4 kN m - 0,6 kN m Mt(z1) = MB - MC = 2,4 kN m Mt(z2) = - MC = - 0,6 kN m Bild Torsionsstab mit Momentenverlauf Maximale Schubpannungen: Mit der Gleichung (2.66) für das Torsionswiderstandsmoment und der Gleichung für die maximale Torsionsspannung (2.65) ergeben sich die in den zwei Bereichen auftretenden maximalen Torsionsschubspannungen zu: 1. Bereich: Mit folgt 2. Bereich: Mit folgt Damit tritt die vom Betrag größte Torsionsschubspannung im 1. Bereich auf und beträgt ? Ende

? Verlauf des Verdrehwinkels:
Mit der Gleichung (2.63) für das polare Flächenträgheitsmoment und der Gleichung (2.70) für den Torsionswinkel erhalten wir für die zwei Bereiche: 1. Bereich: 2. Bereich: Die Integrationskonstanten bestimmen wir aus den folgenden zwei Randbedingungen: Einsetzen der Integrationskonstanten in die Funktionen für die Torsionswinkel liefert: 1. Bereich: l1 D d B A C l2 MB MC z2 z1 2. Bereich: Die Werte an den Bereichsenden ergeben sich zu: - 1,21º + 1,35º j-Verlauf Bild Torsionsstab mit Verlauf des Torsionswinkels Der Verlauf des Verdrehwinkels j ist in Bild 2.64 dargestellt. ? Ende

Beispiel 2.14 Vergleich von Voll- und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung
Gegeben: Mt = 2 kN m, tzul = 160 N/mm2 Material und Stablänge sind für beide Stäbe gleich! Gesucht: 1. Durchmesser DV und DR 2. Verhältnis des Materialeinsatzes 3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel DR Mt DV Mt Bild Voll- und Rohrquerschnitt 1. Bestimmung von DV und DR (Dimensionierung): a) Vollquerschnitt: Aus (2.65) folgt Wir wählen: DV = 40 mm b) Rohrquerschnitt: Aus (2.65) folgt Wir wählen: DR = 57 mm ? Ende

? 2. Verhältnis des Materialeinsatzes:
Das Verhältnis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen. Wir erhalten:  Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6% Material gegenüber einem Vollquerschnitt bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung benötigt. 3. Verhältnis der relativen Verdrehwinkel: Mit dem relativen Verdrehwinkel nach Gleichung (2.71) und den polaren Flächenträgheits-momenten nach den Gleichungen (2.63) und (2.64) und erhalten wir für das gesuchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel Þ Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5 % des Verdrehwinkels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem Material und bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung. ? Ende

Beispiel 2.15 Welle-Rohr-Verbindung (statisch unbestimmt)
Da d B A C MC Di starr Rohr Welle Zwei Torsionsstäbe (Welle, Rohr) sind bei A eingespannt und bei B mit einer starren Scheibe, über die das Gesamtmoment MC eingeleitet wird, verbunden. Gesucht: 1. Aufteilung des Momentes MC auf Welle und Rohr 2. Verdrehwinkel bei B B C MC z Wir schneiden die Welle und das Rohr. An der Schnitt-stelle der Welle wird das Torsionsmoment mit MW und an der Schnittstelle des Rohres mit MR (siehe Bild 2.66) bezeichnet. MW MR Die Momentengleichgewichtsbedingung um die Längs-achse am Schnittbild liefert: : MC - MW - MR = (1) Bild Welle-Rohr-Verbindung Beachte: In der Gleichgung (1) sind die beiden Schnittgrößen MW und MR unbekannt. Die Aufga-be ist einfach statisch unbestimmt! Zur Lösung des Problems müssen Verformungsbetrach-tungen angestellt werden. Mit dem Torsionsmoment in der Welle MW und im Rohr MR werden die Verdrehwinkel von Welle und Rohr nach Gleichung (2.70) berechnet. Wir erhalten: Welle: (2) Rohr: (3) ? Ende

Für die Ermittlung der vier Unbekannten MR, MW, C1 und C2 benötigen wir neben der Gleichung (1) noch drei weitere Gleichungen, die wir aus den folgenden Randbedingungen erhalten: 1. jW(z=0) = 0  C1 = 0 2. jR(z=0) = 0  C2 = 0  3. jR(z=a) = jW(z=a) Mit den Gleichungen (1) und (4) haben wir zwei Gleichungen zur Berechnung der unbekannten Schnittgrößen in der Welle und im Rohr. Die Auflösung der Gleichungen liefert: Der Verdrehwinkel bei B kann mit den jetzt bekannten Schnittgrößen MW bzw. MR aus (2) oder (3) berechnet werden. Wir erhalten: ? Ende

2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte
Die im Kapitel vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsionsverformungen gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte. Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden, wobei zwischen SAINT-VENANTscher Torsion (Verwölbungen können sich frei ausbilden) und Wölbkrafttorsion (Verwölbungen sind behindert) unterschieden werden muss. Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen Querschnitten zu. Die Torsionsschubspannungen und die Verformungen sind hier wesentlich größer als bei anderen Querschnittsformen. Infolge erheblicher Querschnittsverwölbungen, die bei einer Torsionsbeanspruchung auftreten (siehe Bild 2.60, b), ergeben sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z. B. infolge einer Einspannung) sehr großen Normalspannungen in z-Richtung. Unter der Voraussetzung einer SAINT-VENANTschen Torsion lassen sich die für Kreis- und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln für die Berechnung der maximalen Torsionsschub-spannungen und der Verdrehwinkel auch für allgemeine Querschnittsformen verallgemeinern: mit Wt - Torsionwiderstandsmoment (2.73) (2.74) mit It - Torsionsträgheitsmoment Beachte: Das Produkt GIt ist die Torsionssteifigkeit. It und Wt sind in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie zu berechnen (siehe Tabelle 2.8 auf der folgenden Seite). Nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte gilt It º IP. ? Ende

Tabelle 2.8 Berechnung von It und Wt in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie
Querschnittsart Berechnung von It und Wt allgemeine It und Wt aus einer Torsionsfunktion , für die eine POISSONsche Differential-gleichung zu lösen ist. BREDTsche Formeln: Am = von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche dünnwandig, einzellig s d Am Modifizierte BREDTsche Formeln. dünnwandig, mehrzellig Näherungsformeln: dünnwandig, offen di li dünnwandig, ein- oder mehrzellig und offen Teile l0 Im Allgemeinen Vernachlässigung der offen Teilabschnitte l0. Begründung: siehe folgendes Beispiel. ? Ende

Beispiel 2.16 Torsion dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte
Für einen dünnwandigen Stab mit geschlossenem bzw. in Längsrichtung aufgeschlitztem Kreisringquerschnitt (Bild 2.67) sollen die maximalen Torsionsschub-spannungen und die relativen Verdrehwinkel der End-querschnitte allgemein ermittelt und für R/d = 10 mit-einander vergleichen werden. l Mt R d a) b) a) Geschlossener Kreisringquerschnitt: Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomente It und des Torsionswiderstandsmomentes Wt soll hier mit Hilfe der BREDTschen Formeln (siehe Tabelle 2.8) erfolgen. Es wird: Bild Geschlossener und geschlitzter Kreisringquerschnitt bei Torsion und Die maximale Schubspannung folgt aus Gleichung (2.73) und der relative Verdrehwinkel aus Gleichung (2.71), in die bei Kreisquerschnitten GIP = GIt eingesetzt wird. Wir erhalten: und Hinweis: Die Berechnung für den geschlossenen Kreisring kann natürlich auch wie in Kapitel für Kreis- und Kreisringquerschnitte durchgeführt werden. Zur Übung sollte man die Vergleichsrechnung einmal durch-führen. Je geringer die Wandstärke des Kreisringes wird, um so besser stimmen die Ergebnisse mit den hier nach den BREDTschen Formeln berechneten Ergebnissen überein. ? Ende

? b) Geschlitzter Kreisringquerschnitt:
Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomentes It und des Torsionswiderstandsmomentes Wt erfolgt nach den Näherungsformeln aus Tabelle 2.8 für dünnwandige offene Querschnitte. Für die maximale Schubspannung und den relativen Verdrehwinkel erhalten wir: und und Wir vergleichen die Ergebnisse am anschaulichsten miteinander, wenn wir das Verhältnis der maximalen Spannungen und der relativen Verdrehwinkel aufschreiben. Wir erhalten: und Wir erkennen, dass für dieses Beispiel die maximale Spannung im Torsionsstab mit offenem Querschnitt (ansonsten aber identischen Werten) 30-mal größer ist und der Verdrehwinkel sogar 300-mal größer ist als im geschlossenen Kreisringquerschnitt. Schlussfolgerung: Das Ergebnis ist typisch und zeigt das geringe Vermögen dünnwandiger offener Querschnitte Torsionsmomente zu übertragen. ? Ende

2.6 Scherbeanspruchung Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Scher- oder Abscherspannungen ta infolge von unendlich dicht nebeneinander liegenden parallelen und entgegengesetzt gerichteten Querbelastungen, die eine Querschnittsfläche (Scherfläche) auf Schub belasten (Verformungs-berechnungen werden bei Scherbeanspruchungen in der Regel nicht durchgeführt). Scherbeanspruchungen trete bei entsprechender Belastung vorrangig bei Schneidvorgängen, Niet-, Bolzen-, Schweiß- und Klebeverbindungen auf. Einige typische Scherbeanspruchungen sind in Bild 2.68 dargestellt. d h FS AS=pdh Stanzen Nietverbindung FS AS=1/4pd2 d Schneiden, FS AS Schweiß- bzw. Klebeverbindung FS AS=Schweißnahtfläche bzw. Klebefläche Bild Beispiele für typische Scherbeanspruchungen ? Ende

Bevor wir die Berechnung der Scherspannung behandeln, soll die Frage geklärt werden, was die Scherbeanspruchung von der Querkraftschubbeanspruchung (vgl. Kapitel 2.4) unterscheidet. Der Unterschied soll an Hand des folgenden Beispiels (siehe Bild 2.69) verdeutlicht werden. a) System mit vorrangiger Biege- und Querkraftschubbeanspruchung: Biegeeinfluss >> Querkrafteinfluss (Querkrafteinfluss meist vernachlässigbar) F A l z y F FA= F A MA= Fl b) System mit vorrangiger Scherbeanspruchung: Schereinfluss >> Biegeeinfluss (Biegeeinfluss meist vernachlässigbar! F A l z  0 F A z  0 FA= F MA= Fz MA  0 Gefahr der Zerstörung durch Abscheren! Bild 2.69 Querkraftschub und Scherbeanspruchung Hinweis: Eine reine Scherbelastung liegt nach unserer Definition nur für Dz = 0 vor (vgl. Bild 2.69 b). Praktisch ist dieser Fall aber kaum zu realisieren, so dass immer ein kleiner Biegeanteil vorhanden ist und auch Querkraftschubbelastungen auftreten werden. ? Ende

? Näherungsweise Berechnung der Scherschubspannungen
Zur näherungsweisen Berechnung der Scherschubspannungen machen wir noch folgende Annahmen: Es wird eine reine Scherbeanspruchung angenommen (Abstand der Scherkräfte ist Null, z. B. Dz = 0 im Bild 2.69 b). Der in Wirklichkeit komplizierte räumliche Spannungszustand bleibt unberücksichtigt, da die Scherbeanspruchung überwiegt. Ist der Abstand zwischen den Scherkräften nicht Null (aber klein), so kann der Biegeeinfluss im Allgemeinen vernachlässigt werden. Die über eine Scherfläche AS übertragene Scherkraft FS verursacht konstante Scherspan-nungen ta. Das ist ein angenommener Mittelwert einer tatsächlich komplizierter verteilten Schubspannung (vgl. z. B. Kapitel 2.4 Querkraftschub). Es folgt damit für die Scherschubspannung ta bzw. für den Spannungsnachweis gegen Abscheren: (2.75) ? Ende

Beispiel 2.17 Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung
Die Scherkraft FS und die Scherfläche AS in der Bolzenverbindung betragen jeweils (siehe Schnittdarstellung in Bild 2.70) F/2 F d AS=1/4pd2 F/2 F FS=F/2 Damit erhalten wir für die Scherschubspan nung bzw. für einen Spannungsnachweis gegen Abscheren aus Gleichung (2.75): Bild Scherbeanspruchung einer Bolzenverbindung Beispiel Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren Bild Klebe- bzw. Lötverbindung von Rohren l F AS = pd·l d Scherkraft: FS = F Scherfläche: AS = pd·l Mit Gleichung (2.75) folgt für die Scherschubspannung ? Ende

Beispiel 2.19 Stanzen eines Blechteils
Welche Schnittkraft ist zum Stanzen des abgebildeten Blechteils (Bild 2.72) notwendig? Gegeben: Blechdicke 0,8 mm, taB = 200 N/mm2 Bild Blechteil 6 11 10 Scherfläche: AS = lS ·h mit lS - Schnittlänge AS = (2·23 + 2·26 + 4·10)·0,8 mm2 AS = 110,4 mm2 Eine Abschätzung der erforderlichen Schnittkraft erhalten wir aus Gleichung (2.75), indem wir für tzul die gegebene Bruchspannung taB einsetzen und die Gleichung nach FS auflösen. Es wird: Schnittkraft: FS  22,1 kN ? Ende

2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung
Bisher haben wir immer angenommen, dass nur jeweils eine Grundbeanspruchung (Zug/Druck, Biegung, Torsion, Querkraftschub oder Abscherung) vorliegt. Bei den meisten praktischen Proble-men treten jedoch mehrere Grundbeanspruchungen gleichzeitig im Bauteil auf. Wir sprechen dann von zusammengesetzter Beanspruchung. Die Spannungen müssen in geeigneter Weise überlagert werden. Die zu überlagernden Spannungen können dabei „gleichartige“ Spannungen (z. B. nur Normalspannungen in einer Richtung oder nur Schubspannungen in einer Ebene) oder „ungleichartig“ Spannungen (z. B. Normalspannungen und Schubspannungen oder Normalspan-nungen, die in unterschiedlichen Richtungen wirken usw.) sein (vgl. auch Tabelle 2.9). Tabelle 2.9 Grundbeanspruchungen bei Stäben und Balken Grundbeanspruchung Schnittgröße Spannung siehe Kapitel Zug/Druck FL sz Biegung Mbx, Mby 2.3.2 und 2.3.4 Querkraft FQx, FQy tzx, tzy 2.4.1 Torsion Mt t ® tzx, tzy Scherung FS 2.6 gleichartige Spannungen gleichartige Spannungen In diesem Kapitel wollen wir die Berechnung und Beurteilung der Spannungen vornehmen, wenn mehrere (in der Regel „ungleichartige“) Beanspruchungsarten gleichzeitig im Bauteil auftreten. Im Folgenden werden Spannungswerte (Vergleichsspannungen sV) ermittelt, die mit im Zug-versuch ermittelten zulässigen Spannungen szul eine Beurteilung des Bauteils erlauben. ? Ende

2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen
Satz: Gleichartige Spannungen in gleichen Schnittflächen lassen sich an einem Punkt wie Kräfte zu Resultierenden addieren. + + = z FL y x Mby Mbx Bild Überlagerung gleichartiger Normalspannungen aus Zug/Druck und Biegung Mit sz für die Zug/Druck-Beanspruchung nach Gleichung (2.19) und sz für die zweiachsige Biegung nach Gleichung (2.41) ergibt sich die Gesamtnormalspannung somit zu: (2.76) Hinweis: Analog können auch gleichartige Schubspannungen (z. B. aus Torsion und Querkraftschub) überlagert werden. ? Ende

svorhanden  szul und tvorhanden  tzul
2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände Sind nicht nur Normalspannungen in einer Richtung (vgl. z. B. Kapitel 2.7.1) sondern in mehreren Richtungen vorhanden, oder treten Normalspannungen und Schubspannungen gemeinsam auf, so sprechen wir von einem mehrachsigen Spannungszustand (vgl. Bild 2.8; dort ist ein räumlicher bzw. dreiachsiger Spannungszustand dargestellt). Frage: Wie beurteilt man den Spannungszustand beim gleichzeitigen Auftreten verschiedener Spannungen? Problem: Die im Zug- bzw. Torsionsversuch ermittelten Materialparameter (szul und tzul) gelten nur für den reinen einachsigen Zug- bzw. Torsionslastfall. Bei der Wirkung eines mehrachsigen Spannungszustandes zeigt die Praxis, dass ein Tragwerk auch dann zerstört werden kann, wenn die Einzelspannungen die Bedingung svorhanden  szul und tvorhanden  tzul erfüllen! Lösung des Problems: Aus dem mehrachsigen Spannungszustand wird mit Hilfe von Spannungshypothesen (siehe Kapitel 2.7.3) eine so genannte Vergleichsspannung sv berechnet, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung szul verglichen wird. Für den Spannungsnachweis eines mehrachsigen Spannungszustandes muss dann die folgende Bedingung erfüllt sein: sv  szul (2.77) ? Ende

Im Folgenden beschränken wir uns auf den ebene (zweiachsigen) Spannungszustand, der wie folgt gekennzeichnet werden kann: Beim ebenen Spannungszustand gibt es nur Spannungen in einer Ebene (z. B. in der (x,y)-Ebene die Spannungen sx, sy, txy, tyx - vgl. Bild 2.75). Eine kleine Auswahl typischer Bauteile, in denen näherungsweise ein ebener Spannungszu-stand bei entsprechender Belastungen und Geometrie entsteht, ist in Bild 2.74 dargestellt. Bild Bauteile mit näherungsweise ebenen Spannungszuständen F x y dA Dicke h Scheiben dA x y Dicke h dA Dicke h x y Balken und Träger x y qy Mt dA Dünnen Platten Platte dA x y Schale dA und Schalen ? Ende

Wir betrachten von den Bauteilen mit einem ebenen Spannungszustand ein differentielles Flächenelement dA (siehe Flächenelemente dA in den Beispielen von Bild 2.74) und der Dicke h. Die an diesem Element angreifenden Schnittgrößen und Belastungen sind für den ebenen Spannungszustand im Bild 2.75 dargestellt. x dx y dy x,u y,v z Dicke h Bild Ebener Spannungszustand X, Y Volumenkräfte dA = dx·dy dV = h· dA = h·dx·dy u, v - Verschiebungen in x- bzw. y-Richtung Es gilt für Bild 2.75 : y dxdz (x+dx )dydz x dydz (y+dy)dxdz yx dxdz xy dydz (xy+dxy)dydz (yx+dyx )dxdz YdV XdV dA Beachte: sz=0 txz=tzx=0 tyz=tzy=0 Das Momentengleichgewicht um die zur z-Achse parallele Achse durch den Mittelpunkt des Elements liefert (bei Vernachlässigung der Größen, die von höherer Ordnung klein sind) das bereits bekannte Gesetz (siehe Kapitel 2.4.1, Gleichung (2.49)) Gesetz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen (2.78) ? Ende

Durch weitere Gleichgewichts- und Verformungsbetrachtungen am differentiellen Element lassen sich die Differentialgleichungen des ebenen Spannungszustandes ableiten. Aus diesen lassen sich dann unter Beachtung der Randbedingungen und berechnen. Hinweis: Für unterschiedliche Lagen des Bezugssystems (x,y) in Bild 2.75) ergeben sich unterschiedliche Spannungen für sx, sy und txy. Es wird aber in allen Fällen dadurch der gleiche Spannungszustand beschrieben! Wenn unterschiedliche Lagen des Bezugssystems unterschiedliche Spannungen ergeben, dann stellt sich sofort die Frage, wie groß die Spannungen unter einem beliebigen Winkel j sind und für welchen Winkel j die Spannungen Maximalwerte annehmen? Diese Frage soll zunächst an einem einfachen Beispiel - dem Zugversuch mit einem einachsigen Spannungszustand (Bild 2.76, siehe nachfolgende Seite) - geklärt werden. ? Ende

? A = l·h sx sxAsinj x sjAj sxA tjAj j y Dicke h l sxAcosj y x Dicke h
Schnittführung y l x Dicke h sx Bild Zugstab mit herausgeschnittenem Element Wir schneiden aus einem Zugstab ein keilförmiges Element heraus (siehe Bild 2.76) und schreiben dafür die Kraftgleichgewichtsbedingungen auf: (2.79) : (2.80) : Aus den Gleichungen (2.79) und (2.80) lassen sich für jede Winkellage j die Normalspannung sj und die Schubspannung tj berechnen. Die Maximalwerte dieser Spannungen ergeben sich aus den Bedingungen für Extremwerte dieser Spannungen und ? Ende

Aus der ersten Bedingung für die Normalspannung folgt mit Gleichung (2
Die beiden Lösungen in (2.79) eingesetzt liefern für j1 = 0 die maximale Normalspannung und für j2 = p/2 die minimale Normalspannung sj: und Für diese Winkel (j1 = 0, j2 = p/2) wird nach Gleichung (2.80) die Schubspannung tj = 0. Aus der zweiten Bedingung für die Schubspannung folgt mit Gleichung (2.80) Die beiden Lösungen in (2.80) eingesetzt liefern für j1 = +p/4 und für j2 = -p/4 bis auf das Vorzeichen die gleiche Schubspannung tj. Es ergibt sich: und Feststellung:  Die maximale Schubspannung tritt unter einem Winkel von 45° gegenüber der maximalen Normalspannung auf.  Wo die Normalspannung einen Extremwert hat, ist die Schubspannung Null.  Die obigen zwei Feststellungen gelten allgemein auch für den mehrachsigen Spannungszustand (siehe nachfolgende Verallgemeinerung). ? Ende

? Verallgemeinerung auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand:
Wir betrachten für den ebenen Spannungszustand zwei keilförmige Elemente (Bild 2.77) mit einer um den Winkel j (bzw. j + p/2) geneigten Schnittebene und schreiben für beide Elemente wieder zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen auf, um daraus die Spannungen in den geneigten Schnitt-ebenen zu ermitteln. x y   j sxAsinj syAcosj txyAcosj txyAsinj tA sA Fläche A Bild Spannungstransformation für den ebenen Spannungszustand x y   j sxAcosj syAsinj txyAcosj txyAsinj tA sA Fläche A txy = tyx t = t Es folgt (die Rechnung sollte der Leser zur Übung selbst einmal durchführen): (2.81) (2.82) (2.83) ? Ende

Frage: Für welchen Winkel j nehmen die Spannungen Extremwerte an und wie groß sind diese?
Die Extremwerte für die Spannungen s, s und t können formal mit Hilfe ihrer ersten Ableitungen und aus den Gleichungen (2.81) bis (2.83) berechnet werden. Wir wollen hier die Lösung des Problems vereinfachen, indem wir den nachfolgenden Hinweis ausnutzen. Hinweis: Die Transformationsformeln (2.81) bis (2.83) für die Spannungen sowie die Extrem-wertbedingungen entsprechen genau denen für die Flächenträgheitsmomente. Deshalb können die dort gewonnenen Ergebnisse analog übertragen werden (vgl. Kapitel , S 141). Wir erhalten als Extremwerte der Spannungen die so genannten Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) s1 und s2 in Richtung der Hauptspannungsachsen „1“ und „2“, die gegenüber dem Ausgangssystem (x,y) um j01 bzw. j02 gedreht sind und die Hauptschubspannungen tI und tII in Richtung der Hauptschubspannungsachsen „I“ und „II“ (vgl. Gleichungen (2.84) bis (2.89) und Bild 2.78 sowie Bild 2.79). ? Ende

? Hauptspannungen s1 und s2: (2.84) (2.85) mit
j01 x y 1 2 s1 s2 j02 Bild Hauptspannungen (2.84) (2.85) mit Beachte: Da die Spannungen vorzeichenbehaftet sind, ist s1 = smax nicht automatisch der vom Betrag maximale Spannungswert, sondern der nach der reellen Zahlenfolge größte Wert (z. B.: s1 = smax = -50 N/mm2, s2 = smin = -90 N/mm2)! Richtungen j01 und j02 der Hauptspannungen : und (2.86) oder (2.87) ? Ende

? Hauptschubspannungen tI und tII: (2.88) (2.89)
j01 x y 1 j02 j01- 45 45   2 Bild Hauptschubachsenlage (2.88) (2.89) Beachte: Die Hauptschubspannungen treten in Schnitten auf, die um die Winkel -45° bzw. +45° gegenüber der Hauptspannungsrichtungsachse „1“ gedreht sind (Bild 2.79) und unterscheiden sich nur im Vorzeichen. ? Ende

2.7.3 Spannungshypothesen Der mehrachsige Spannungszustand wird mit Hilfe der folgenden Spannungshypothesen (Festigkeitshypothesen) auf eine so genannte Vergleichsspannung sV zurückgeführt, die dann mit der im Zugversuch ermittelten zulässigen Spannung szul verglichen werden kann (vgl. einführende Bemerkungen zum Kapitel 2.7.2). Nachfolgend wird die Berechnung der Vergleichsspannung sV für drei der bekanntesten Hypothe-sen vorgestellt. Dabei beschränken wir uns auf den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand. Hauptspannungshypothese Annahme: Der Bruch des Materials tritt ein, wenn die vom Betrag größte Normalspannung (deshalb auch die Bezeichnung Normalspannungshypothese) die zulässige Spannung szul überschreitet. Mit den Hauptnormalspannungen nach den Gleichungen (2.84) und (2.85) gilt für die Vergleichs-spannung nach der Hauptspannungshypothese: V1 = Maximum(|1|, |2|)  zul (2.90) Anwendungsbereich:  Für Spröde Werkstoffe (z. B. Grauguß) Nachteil:  Für zähe Werkstoffe liefert die Hauptspannungshypothese im Allgemeinen zu kleine Werte, d. h. man liegt auf der „unsicheren“ Seite! ? Ende

? Schubspannungshypothese
Annahme: Es wird angenommen, dass die größte Schubspannung für den Bruch verantwortlich ist. Die größte Schubspannung für einen ebenen Spannungszustand ist nach (2.88) Um diese maximale Schubspannung mit einer zulässigen Normalspannung vergleichen zu kön-nen, ermitteln wir die maximale Schubspannung für einen Zugstab, der nur durch die Normal-spannung sx = sV2 belastet ist. Den Zusammenhang zwischen sx und tmax haben wir bereits im Kapitel am Beispiel des Zugversuchs kennen gelernt. Er folgt natürlich auch aus der allge-meinen Gleichung (2.88) für den ebenen Spannungszustand mit sy = 0 und txy = 0. Es wird: Setzen wir hier die maximale Schubspannung für den ebenen Spannungszustand ein, so folgt für die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (2.91) Anwendungsbereich:  Für spröde Werkstoffe bei überwiegender Druckbelastung,  in der Bodenmechanik (Sand),  für sehr zähe metallische Werkstoffe mit ausgeprägtem Fließverhalten. Nachteil:  Liefert oft zu große Werte! ? Ende

? Gestaltänderungshypothese (nach R. VON MIESES)
Annahme: Der Bruch ist von der Größe der Gestaltänderungsenergie abhängig. Ohne Herleitung soll hier das Ergebnis für die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-hypothese angegeben werden: (2.92) für Hauptspannungen: (2.93) Spezialfall für den einachsigen Spannungszustand (x = , y = 0, xy= t) (2.94) Der Spezialfall nach (2.94) trifft in der Regel für Träger und Balken immer zu, wobei sich die Normalspannung s aus der Überlagerung der gleichartigen Spannungen aus Zug/Druck und zweiachsiger Biegung ergeben kann und die Schubspannung t ebenfalls die Resultierende der gleichartigen Schubspannungen aus Querkraftschub und Torsion sein kann (vgl. Kapitel 2.7.1). Anwendungsbereich:  für zähe Werkstoffe mit ausgeprägter Fließgrenze (z. B. Stahl),  auch für Nichteisenmetalle,  auch anwendbar bei dynamischer und wechselnder Beanspruchung,  hat auch Bedeutung in der Plastizitätstheorie. Beachte: Die Gestaltänderungshypothese hat die größte Bedeutung von allen Hypothesen erlangt. Sie liefert in der Regel die besten Ergebnisse für die gebräuchlichsten Materialien im Maschinenbau (siehe Anwendungsbereiche und nachfolgenden Vergleich der Hypothesen). ? Ende

? Vergleich der Spannungshypothesen
Wir wollen für den Spezialfall sx = s, sy = 0 und txy = t, der z. B. bei der Überlagerung von Biegung und Torsion in einem Träger auftritt, die Vergleichsspannungen nach den drei oben angegebenen Spannungshypothesen miteinander vergleichen. Es folgt für diesen Spezialfall: Hauptspannungshypothese nach (2.90) mit (2.84): Schubspannungshypothese nach (2.91): Gestaltänderungshypothese nach (2.94): Allgemein gilt in diesem Spezialfall für t  0: sV1  sV3  sV2 sV1 = sV2 = sV3 und natürlich für t = 0: Feststellung: Die Vergleichsspannung sV3 nach der Gestaltänderungshypothese liegt zwischen den beiden anderen Hypothesen. Sie stimmt für die meisten Werkstoffe am besten mit den praktischen Erfahrungen überein.  Die Gestaltänderungshypothese ist die am häufigsten benutzte Hypothese! ? Ende

Beispiel 2.20 Getriebewelle mit einem schrägverzahnten Zahnrad
Fu Fa Fr M0 r a b A B C Geg.: a = 80 mm, b = 120 mm, r = 40 mm M0 = 120 Nm, szul = 120 N/mm2 Nach der Verzahnungsgeometrie gilt: Fa = Futanb, Fr = (Futana)/cosb, a = 20, b = 10° Annahme: Die Querkraftschubspannungen seien vernachlässigbar klein! Ges.: Durchmesser d der Welle nach der Gestaltänderungshypothese. Fu Fa Fr M0 FAz FAx FAy FBx FBy Fur Far z x y Aus 6 Gleichgewichtsbedingungen lassen sich die unbekannten Lagerreaktionen und Fu berechnen: Fa = 529 N - FL M0 = 120 N m - Mt + FAya = 61,7 N m FByb = 40,6 N m FAxa = 144 N m Mbx Mby Far Damit lassen sich die Schnittgrößenverläufe ermitteln (siehe Bild 2.80). Wir können daraus zwei gefährdete Querschnitte erkennen:  rechts von C (Maximum für Mby, Mt und großes Mbx )  links von C (Maximum für FL, Mbx, Mby) Bild Getriebewelle mit Zahnrad ? Ende

Beachte: Da es zwei gefährdete Querschnitte gibt, müssen wir zunächst für beide Querschnit-te eine Dimensionierung durchführen. Mit den Ergebnissen kann dann entschieden werden, welcher Durchmesser d gewählt werden muss, damit in keinem der beiden Querschnitten die Vergleichsspannung die zulässige Spannung szul überschreitet. Dimensionierung für den Querschnitt rechts von C: Mit den Schnittgrößen unmittelbar rechts von C (vgl. Bild 2.80) Mt = -120 Nm Mbx = 40,6 Nm Mby = 144 Nm  nach Gleichung (2.46) ergeben sich die maximalen Spannungen, die in zwei Punkten auf dem Umfang des Quer-schnitts auftreten aus den Gleichungen (2.47) bzw. (2.65) und (2.66) zu: (1) (2) Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss gelten: Mit (1) und (2) ergibt sich daraus: ? Ende

? Aus der letzten Gleichung folgt mit der Abkürzung MV3 mit (2.95)
Hinweis: Das Zwischenergebnis in Form von Gleichung (2.95) ist eine nützliche allgemeine Formel für die Berechnung von Wellen nach der Gestaltänderungshypothese unter Biege- und Torsionsbelastung. Die Gleichung (2.95) kann nach dem Widerstandsmoment (bei Dimensionierungsproblemen als erforderliches Widerstandsmoment bezeichnet), aufgelöst werden. Mit Wb nach (1) folgt: Die Auflösung nach derf liefert: ? Ende

Dimensionierung für den Querschnitt links von C:
Mit den Schnittgrößen unmittelbar links von C (vgl. Bild 2.80) FL = -529 N Mbx = 61,7 Nm Mby = 144 Nm  nach Gleichung (2.46) erhalten wir eine maximalen Normalspannung aus der Überlagerung der Zug/Druck- und der Biegespannung nach (2.76) mit (2.19) und (2.47) zu: mit und (3) Schubspannungen treten an dieser Stelle nicht auf, da das Torsionsmoment Mt Null ist. Nach der Gestaltänderungshypothese (2.94) muss wieder gelten: Wegen der hier fehlenden Schubspannung erhalten wir daraus mit (3) die einfache Bedingung Mit A und Wb aus (3) ergibt sich eine kubische Gleichung für den Durchmesser derf: (4) ? Ende

? Aus der Gleichung (4) erhält man die reelle Lösung20
Schlussfolgerung: Da derf rechts von C größer ist als links von C, muss die Getriebewelle nach dem größeren Durchmesser derf ³ 24,9 mm dimensioniert werden. Den Durchmesser, mit dem man die Getriebewelle tatsächlich fertigt, wird man in der Praxis nach bestimmten Gesichtspunkten (Vorzugsdurchmesser, einzuhaltende Normen, verfügbare Materialabmessungen, Sicherheiten usw.) etwas größer wählen, z. B. Hinweis: Will man die etwas aufwendigere Lösung der kubischen Gleichung (3) für derf vermei-den, so kann man auch einen Spannungsnachweis nach der Gestaltänderungshypothese mit einem angenommenen Durchmesser führen. Wählt man zweckmäßig den rechts von C ermittelten erforderlichen Durchmesser dgew = derf = 24,9 mm, so liefert der Spannungsnach-weis für die Stelle links von C: 20 Die Lösung einer kubischen Gleichung kann nach der Cardanischen Lösungsformel (siehe [2]) oder näherungsweise erfolgen. ? Ende

(5) Das Ergebnis (5) des Spannungsnachweises besagt, dass die Welle links von C immer kleinere Spannungswerte nach der Gestaltänderungshypothese haben wird als rechts von C. Die Stelle rechts von C ist somit für die Dimensionierung maßgeblich, wie wir es mit der exakten Berech-nung oben bereits festgestellt hatten. Hinweis: Der Anteil der Längskraft (in (5) der erste Summand in der Klammer) ist in diesem Beispiel sehr klein. Diese Feststellung kann dahingehend verallgemeinert werden, dass die Spannungen aus der Längskraft in vielen Fällen vernachlässigt werden können. Der hier nicht berücksichtigte Einfluss der Querkraftschubspannungen ist ebenfalls klein. Die Vernachlässi-gung dieser beiden Anteile wird durch das Wählen von dgew > derf in der Regel „abgefangen“. ? Ende

2.8 Stabilität 2.8.1 Einführung ?
Ein auf Druck belasteter gerader Stab Bild 2.81 kann seine Funktion (Gleichgewicht mit gerader Stabachse) verlieren, auch wenn die im Stab vorhandene Druckspannung sd noch wesentlich kleiner als die zulässige Druckspannung ist, d. h. wenn gilt F=FK Der Stab verliert seine Funktion, indem er bei einer be-stimmten kritischen Kraft F = FK plötzlich instabil wird und eine neue Gleichgewichtslage mit gekrümmter Stabachse annimmt. F<FK Bild Stabknickung Wir bezeichnen diesen Vorgang als das Knicken eines Stabes oder kurz als Stabknickung. Solche Instabilitäten treten auch bei anderen Tragwerken unter Druckbelastungen auf und sind sehr gefährlich! Einige Beispiele sind in Bild zusammengestellt. q=qK Schale q=qK Platte Schale F<FK F=FK Platte Bild Kippen und Beulen Kippen eines brettartigen Balkens Beulen von Flächentragwerken (Platte, Schale) ? Ende

Die beim Stabilitätsverlust eintretenden Verformungen können auch wesentlich komplexere Formen haben, wie z. B. in Bild 2.83 und Bild 2.83/1 (mit Animation) dargestellt. x1 x2 x3 Gebeulte Schale in zwei Ansichten Schale mit konstantem Radialdruck x1 x2 x3 Schale Radialdruck p Bild Beulen einer schräg abgeschnittenen Schale (konstanter radialer Druck p von Außen) ? Ende

Die folgende Animation (Bild 2
Die folgende Animation (Bild 2.83/1, nicht im Lehrbuch) zeigt das Beulen einer Zylinderschale unter axialem Druck (vgl. Schale in Bild 2.82) bei Laststeigerung bis zur kritischen Axiallast und bei Rücknahme der Axiallast bis auf den Wert Null. In dem Diagramm ist der zum Verformungsbild gehörende aktuelle Zusammenhang zwischen Axiallast und Verkürzung der Schale dargestellt. Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder Datei schalenbeulen.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf das Video stoppt dieses bzw. setzt die Wiedergabe fort oder wiederholt sie. Animation Bild 2.83/1 Animation: Beulen einer Schale (konstanter axialer Druck) Mit freundlicher Genehmigung von Martin Srubar (Dissertation, Universität Hannover, Institut für Baustatik, 1999) ? Ende

Die Stabilität von komplexen Bauwerke, z. B
Die Stabilität von komplexen Bauwerke, z. B. von Brücken, Kränen, Dachkonstruktionen usw. aus Fachwerkstäben, ist durch eine ausreichende Sicherheit gegen Knicken der auf Druck belasteten Stäbe zu gewährleisten. Das Versagen (Knicken) eines Druckstabes (vgl. Bild 2.84 und 2.84/1 auf der folgenden Seite) kann zum Versagen der gesamten Konstruktion führen. Versagen durch Knicken! Bild Versagen einer komplexen Struktur (Fachwerkbrücke) durch Knicken eines Stabes Die große Bedeutung der Stabilität wird dadurch unterstrichen, dass der Nachweis der Stabilität für viele Bereiche der Technik durch Normen und Vorschriften verbindlich geregelt ist! Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen hat schon zu großen Katastrophen geführt! Ein klassisches Beispiel dazu wird auf der folgenden Seite vorgestellt (nicht im Lehrbuch). ? Ende

Das Nichtbeachten von Stabilitätsproblemen führte in der Bauphase der Québec-Brücke in Kanada gleich zweimal zum Einsturz. Sie konnte dadurch erst dem Verkehr über-geben werden. 1. Einsturz: 1907 Ein Mensch! 2. Einsturz: 1916 Bild 2.84/1 Québec-Brücke, Kanada Längste Auslegerbrücke der Welt mit einer Spannweite von 549 m ? Ende

2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem
Wir betrachten einen auf Druck belasteten Stab, der an seinem Fußpunkt gelenkig gelagert ist und durch eine Spiralfeder im Gleichgewicht gehalten wird (Bild 2.85, links). F A c l starr A l j v F FA MA Wir wollen untersuchen, bei welcher Belastung F = FK (rich-tungstreue Kraft F vorausgesetzt) die Gleichgewichtslage mit vertikaler Stabachse in eine um den Winkel j ausgelenkte Stabachse übergeht (Bild 2.85, rechts). Für derartige Untersuchungen ist das Aufschreiben der Gleich-gewichtsbedingungen am ausgelenkten System erforderlich, wobei die Auslenkungen noch als klein angenommen werden dürfen (Theorie 2. Ordnung). Bild Ein einfaches Stabilitätsproblem Aus der Momentengleichgewichtsbedingung A : F·v - MA = 0 mit MA = c·j und v = l·sinj folgt die Bedingung für das Gleichgewicht mit ausgelenkter Stabachse: F·l·sinj - cj = 0 (2.96) Wir wollen nur kleine Winkel j betrachten (Theorie 2. Ordnung), d. h. wir dürfen sinj » j setzen (diese Vereinfachung bezeichnen wir als Liniearisierung). Es folgt: bzw. (F· l - c) j = 0 F· lj - cj = 0 (2.97) Gleichung (2.97) ist eine so genannte Eigenwertgleichung (homogene Gleichung für die Auslenkung j). ? Ende

? Die Eigenwertgleichung (2.97) (F· l - c) j = 0
hat folgende Lösungen: a) triviale Lösung für j = 0 (also mit senkrechter Stabachse) und b) nichttriviale Lösung für (F· l - c)=0. Aus der nichttrivialen Lösung b) folgt die so genannte kritische Kraft bei der das System plötzlich eine Gleichgewichtslage mit ausgelenkter Stabachse annimmt, wobei die Größe der Auslenkung wegen der Liniearisierung sinj » j unbestimmt bleibt. Hinweis: Will man wissen, welche Auslenkung das System für Kräfte F > FK besitzt, so muss die nicht liniearisierte Gleichung (2.96) ausgewertet werden. Aus der grafischen Darstellung von Gleichung (2.96) in der Form folgen anschaulich für beliebige Winkel j die möglichen Gleichgewichtslagen dieses Systems (vgl. nächste Seite). ? Ende

Aus Bild 2.86 lassen sich folgende möglichen Gleichgewichtslagen in Abhängigkeit vom Winkel j erkennen: Für F < FK (bzw. Fl/c < 1) liegt immer stabiles Gleichgewicht vor. j in [  ] 2 1,5 1 0,5 Bild Gleichgewichtslagen labil Verzweigungs- punkt stabil Vom so genannten Verzweigungspunkt (kritischer Punkt, F = FK bzw. Fl/c = 1) an kann das Gleich-gewicht - labil sein, wenn j = 0 ist oder stabil stabil mit einer Auslenkung nach rechts oder links, wobei schon kleine Lasterhöhungen große Aus-schläge hervorrufen, wie man aus Bild 2.86 ablesen kann. Die labile Gleichgewichtslage mit j = 0 (gestrichelte Kurve in Bild 2.86) ist praktisch nicht von Bedeutung, da immer kleine Störungen vorhanden sind, so dass das System im Verzweigungs-punkt bei einer weiteren Laststeigerung in eine stabile Gleichgewichtslagen mit ausgelenkter Stabachse (ausgezogenen Zweige in Bild 2.86) übergehen wird. ? Ende

2.8.3 EULER-Fälle F A B l EI Typische Stabilitätsprobleme stellen auf Druck belastete Stäbe dar. Wir wollen zunächst einen beidseitig gelenkig gelagerten Stab mit einer richtungstreuen Druckkraft F betrachten (Bild 2.87) und die kritische Kraft ermitteln, bei der der Stab instabil wird (ausknickt). F FBV FBH FA verformter, ausgeknickter Stab z y, v Beachte: Bei allen Stabilitätsuntersuchungen müssen die Gleichgewichtsbetrachtungen am verformten System aufgeschrieben werden. Soll nur die kritische Belastung ermittelt werden, so darf liniearisiert werden (Theorie 2. Ordnung, siehe auch Kapitel 2.8.2). F FQ FL z y, v Mb v(z) S Das Gleichgewicht am verformten Gesamtsystem liefert zunächst die Lagerreaktionen: FBH = F und FA = FBV = 0 Bild Knickstab (2. EULER-Fall), Gleichgewicht am verformten System Das Gleichgewicht am freigeschnittenen verformten Teilsystem liefert das Biegemoment Mb(z) = F×v(z) Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen in der (y,z)-Ebene folgt nach der Differential-gleichung 2. Ordnung (2.37) mit diesem Biegemoment (2.98) ? Ende

? mit (2.99) wird Gleichung (2.98) (2.100)
Diese homogene Differentialgleichung hat die Lösung (2.101) Die Integrationskonstanten folgen aus den Randbedingungen: 1. v(0) = 0  c1 = 0 2. v(l) = 0  c2·sin(kl) = 0  c2 = 0 (d. h. mit c1 =0 bleibt die Stabachse gerade)  sin(kl) = 0 für c2  0 (d. h. gekrümmte Stabachse) Die 2. Randbedingung wird somit bei gekrümmter Stabachse für erfüllt. sin(kl) = 0 (2.102) kl = 0, p, 2p, 3p, ... (2.103) Die Gleichung (2.102) ist die so genannte Eigenwertgleichung dieses Stabilitätsproblems mit den Eigenwerten kl : Der kleinste von Null verschiedene Eigenwert (kl = 0 würde nach (2.99) F = 0 ergeben) kl = p liefert mit Gleichung (2.99) die kleinste kritische Kraft (2.104) ? Ende

Der Stab wird beim Erreichen dieser Druckkraft plötzlich ausknicken, wobei die Biegelinie nach Gleichung (2.101) mit c1 = 0 und k = p/l die Form einer sin-Funktion annimmt (vgl. Bild 2.87). Die Größe der maximalen Auslenkung, die durch die Integrationskonstante c2 bestimmt wird, bleibt unbestimmt. Wir erhalten für die Biegelinie des ausgeknickten Stabes Verallgemeinerung Der oben vorgestellte Lösungsweg kann analog für andere Lagervarianten ange-wandt werden. Für drei weitere, in der Praxis häufig anzutreffende Lagerungen von Knickstäben lassen sich die Ergeb-nisse für die dazugehörenden kritischen Kräfte einheitlich darstellen. l F lK = 2·l 1 Bild Knicklängen lK für die vier EULER-Fälle mit Biegelinie für die kritische Kraft F lK = l 2 F lK  0,6992·l 3 F lK = ½·l 4 Diese insgesamt vier Lagerungsarten wer-den auch EULER-Fälle genannt. Für die kritische Kraft dieser vier EULER-Fälle gilt mit EI = konst. als Biegesteifigkeit bezüg-lich der Biegeachse beim Knicken: (2.105) mit lK = Knicklänge nach Bild 2.88 ? Ende

Knickspannung Kurz bevor ein Stab ausknickt, ist die Stabachse noch gerade. Es herrscht daher im Moment des Ausknickens eine reine Druckbeanspruchung und für die kritische Druckspannung gilt: (2.106) Bei der Berechnung von FK nach EULER haben wir elastisches Materialverhalten vorausgesetzt (Anwendung der Differentialgleichung 2. Ordnung). Das bedeutet: Die EULER-Formeln gelten nur für elastisches Knicken ! Die Bedingung dafür ist: mit sP = Proportionalitätsgrenze im Druckbereich (2.107) Diese Bedingung (2.107) für elastisches Knicken wird auch oft wie folgt umgeformt: Mit den Abkürzungen Schlankheitsgrad (reine geometrische Größe) (2.108) Trägheitsradius (2.109) Grenzschlankheitsgrad (reiner Materialparameter) (2.110) ? Ende

nimmt die Bedingung für das elastische Knicken die folgende einfache Form an:
(2.111) Hinweis: Der Vorteil der Gleichung (2.111) liegt darin, dass mit der geometrischen Größe des Schlankheitsgrades l sofort entschieden werden kann, ob elastisches Knicken eintritt oder nicht, da die Grenzschlankheitsgrade lP für die gebräuchlichen Materialien in Tabellen verfüg-bar sind. Falls die Bedingung für elastisches Knicken nicht erfüllt ist, muss geprüft werden, ob eventuell ein Knicken im plastischen Bereich auftritt. Dafür gelten die so genannten TETMAJER -Formeln, die hier aber nicht behandelt werden sollen. ? Ende

Beispiel 2.21 Gelenkig gelagerter Druckstab
Ein Stab wird über einen Hebel auf Druck beansprucht. Gesucht wird die kritische Last F = Fkrit, bei der der vertikale Stab knickt. Die gelenkige Lagerung des Stabes sei so konstru-iert, dass sie für jede Biegeachse gilt. F A l2 l1 l b a F A l2 l1 FS l Knickachse: Achse mit Imin Gegeben: l = 400 mm l1 = 115 mm l2 = 230 mm a = 1,48 mm b = 17,85 mm E = 2·105 N/mm2 lP= 92 Bild Gelenkig gelagerter Druckstab Das Momentengleichgewicht um den Punkt A am freigeschnittenen Hebel liefert den Zusammenhang zwischen F und der Druckkraft FS des Stabes (vgl. Bild 2.89): A : (1) Bei gelenkiger Lagerung für jede Biegeachse knickt der Stab zuerst um die Achse Imin (siehe Bild 2.89). Wir prüfen, ob elastisches Knicken eintreten wird. Mit der Knicklänge lK = l (2. EULER-Fall) wird der vorhandene Schlankheitsgrad nach (2.108) (2) ? Ende

Das Ergebnis von Gleichung (2) zeigt, dass Knicken im elastischen Bereich eintreten wird und wir deshalb die EULER-Formel (2.105) anwenden dürfen. Aus dieser folgt die kritische Druck-belastung des Stabes (3) Aus (1) folgt mit FS = FS krit nach (3) die gesuchte kritische Belastung zu: = 19,8 N ? Ende

Beispiel 2.22 Dimensionierung von Fachwerkstäben bezüglich der Stabilität
Das Fachwerk in Beispiel 1.13; S 84 , das aus einheitlichen Stäben mit T-Querschnitt (DIN 1024, vgl. Tabelle 2.6) bestehen soll, ist so zu dimensionieren, dass keine Knickgefahr besteht. Die Fachwerkknoten seien ideale räumliche Gelenke. Gegeben: F = 50 kN, a = 2 m, a = 30 °, E = 2,1×105 N/mm2, sP = 240 N/mm2 Die Stabkräfte liegen für dieses Fachwerk in der Tabelle 1.1; S 85 bereits vor. Die knick-gefährdeten Druckstäbe sind die Stäbe 1, 3, 8, 9 und 12. Für alle Druckstäbe gilt: Stablänge: lS = a/cosa Knicklänge: lK = lS = a/cosa (2. EULER-Fall für das Knicken in jeder Richtung) Die Druckstäbe werden bei einer Belastung FSi > FK zuerst um die Achse ihres kleinsten Flächen-trägheitsmomentes ausknicken, wobei natürlich der Stab mit der größten Druckbelastung zuerst ausknickt. Das ist der Stab 1 mit der Stabkraft (vgl. Tabelle 1.1; S 85) Um ein Ausknicken dieses Stabes zu vermeiden, muss nach Gleichung (2.105) gelten (wir setzen dabei stillschweigend zunächst elastischen Knicken voraus, was wir aber erst nach Festlegung des Querschnitts prüfen können): Diese Ungleichung lösen wir nach der Querschnittsgröße Imin auf und erhalten (nächste Seite) ? Ende

Der gesuchte T-Querschnitt muss diese Bedingung erfüllen. Aus Tabelle 2.6 folgt, dass der Querschnitt T90 (grau unterlegt) mit Imin = Iy = 58,5 cm4 = 58,5×104 mm4 und der Querschnittsfläche A = 17,1 cm2 diese Bedingung erfüllt. Es muss jedoch für diesen Querschnitt auch die Bedingung für elastisches Knicken (2.111) erfüllt sein, denn nur dann war unsere Rechnung zulässig. Es folgt mit dem vorhandenen Schlankheitsgrad l nach (2.108) und dem Grenzschlankheitsgrad lP nach (2.110) aus der Bedingung (2.111) l ³ lP : Die Bedingung für elastisches Knicken ist erfüllt, d. h. die obige Berechnung war zulässig, und der Querschnitt T90 ist insofern geeignet, dass damit ein Ausknicken der Fachwerkstäbe vermieden wird. ? Ende

Ende der Festigkeitslehre
? Ende

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