Einführung ins Lösen von Gleichungen

Präsentation zum Thema: "Einführung ins Lösen von Gleichungen"—  Präsentation transkript:

1 Einführung ins Lösen von Gleichungen
2x = ? | Urs Vonesch Einführung ins Lösen von Gleichungen

2 Aufgabe 1 2x = ? | Wie gehen Sie vor?

3 2x = ? | Notieren Sie rechts eines senkrechten Striches,
wie Sie die beiden Seiten der Gleichung verändern.

4 2x = ? |

5 Aufgabe 2 2x = ? |

6 2x = ? | Den Nenner durch Multiplikation wegschaffen

7 2x = ? |

8 2x = ? | Aufgabe 3

9 2x = ? |

10 Aufgabe 4 2x = ? | Sortieren: x-Ausdrücke auf eine Seite bringen

11 2x = ? |

12 2x = ? | Aufgabe 5: eine Ungleichung Bei Ungleichungen muss
stets die Grundmenge angegeben sein (N, Z, Q oder R).

13 2x = ? | Die Lösung ist eine ganze Zahlmenge, die Lösungsmenge L.
Die Grundmenge war hier Z. L ist eine Teilmenge davon. Hier ist die aufzählende Form günstig.

14 2x = ? | Aufgabe 6 Alle x-Ausdrücke auf eine Seite bringen...

15 2x = ? | Grundmenge war Z. L ist Teilmenge davon. Aufzählende Form.

16 2x = ? | Aufgabe 7 Hier ist G = R.

17 2x = ? | x wird auf diejenige Seite geschafft,
bei der beim Verrechnen positive x-Terme entstehen, hier also nach rechts: 2x = ? | Wie sieht der nächste Schritt aus?

18 2x = ? | Achtung: 16 > x bedeutet: x ist kleiner als 16.
Bei Grundmenge R ist die aufzählende Form nicht möglich. L wird in der beschreibenden Form notiert.

19 2x = ? | Aufgabe 8: Sie zeigt uns eine wichtige
Regel bei Ungleichungen. 2x = ? |

20 2x = ? | Wichtig: Wird eine Ungleichung
beidseitig mit einer negativen Zahl multipliziert, so ändert das <, bzw. das >-Zeichen! Dasselbe gilt bei beidseitiger Division durch eine negative Zahl. Hier wird beidseitig durch (-1) dividiert. > wird dann zu <:

21 2x = ? |

22 2x = ? | Aufgabe 9: verschiedene Nenner
Erster Schritt: gleichnamig machen, d.h. Hauptnenner (HN) finden

23 2x = ? | Erweitern auf den Hauptnenner:
2.Schritt: Beidseitig mit dem HN multiplizieren. Die Nenner fallen dann weg.

24 2x = ? | 3.Schritt: x auf eine Seite schaffen,
so dass positive x-Terme entstehen. Wir schaffen hier x nach rechts.

25 2x = ? |

26 2x = ? | Aufgabe 10: Gleichungen mit Buchstaben („Parametern“)
Vorgehen: Alle x auf eine Seite schaffen x ausklammern x durch Division isolieren

27 Aufgabe 11 2x = ? | x auf eine Seite schaffen, dann ausklammern

28 2x = ? | ... und zum Schluss x isolieren.

29 2x = ? | Aufgabe 12: x kommt auch im Nenner vor
Wichtig: Die Gleichung ist nur für x-Werte definiert, bei denen keiner der Nenner 0 wird. Das ist am Schluss nachzuprüfen. Hier darf x nicht 4/3 werden.

30 2x = ? | Durch Erweitern den HN suchen und dann mit
diesem multiplizieren: 2x = ? |

31 2x = ? | Vorsicht beim Verschwinden der Bruchstriche:
Bruchstriche waren Klammern. Deshalb der Vorzeichenwechsel (rotes + unten): 2x = ? | Die Lösung x = -2 gehört zu den erlaubten Zahlen.

32 2x = ? | Aufgabe 13: Nochmals x im Nenner
Verbotene x sind 5 und -5, denn da wird ein Nenner null. Man sagt: Der Definitionsbereich D ist R ohne {-5, 5}. Der Hauptnenner wird via 3.Binomische Formel gefunden:

33 Erweitern und Multiplikation mit dem HN:
2x = ? |

34 2x = ? | Schlusskontrolle: Ist x ein erlaubter Wert?
Vorsicht hier: Minus vor dem Produkt 2x = ? | Wir setzen als Zwischenschritt hier eine Klammer Vorzeichenwechsel beim Auflösen der Klammer Schlusskontrolle: Ist x ein erlaubter Wert?

35 2x = ? | Nein! x ist nicht Element des Definitionsbereichs D!
Die Lösungsmenge ist die leere Menge; die Gleichung ist unlösbar.

36 2x = ? | Es kann vorkommen, dass Sie nach etlichen Schritten
des Auflösens einer Gleichung zu folgendem Resultat kommen: 2x = 2x oder x = x. Was bedeutet dies? Dies bedeutet eine „Selbstverständlichkeit“, die für jedes x gilt. Sie können einsetzen, was Sie wollen: Die Gleichung stimmt immer. Man sagt: Die gegebene Gleichung ist allgemeingültig. Die Lösungsmenge L ist gleich dem Definitionsbereich D: L = D. 2x = ? |

37 2x = ? | Zusammenfassung: Vorgehen beim Auflösen von Gleichungen:
Definitionsbereich D bestimmen (Nenner ≠ 0) Gleichnamig machen (HN suchen) Mit HN multiplizieren. Achtung auf Vorzeichen! Sortieren: Alle x-Terme auf eine Seite bringen Bei Buchstabengleichungen: x ausklammern x isolieren Lösung überprüfen: erlaubt oder verboten? 2x = ? | Vorsicht bei Ungleichungen, wenn mit negativen Zahlen multipliziert oder durch negative Zahlen dividiert wird: > und < wechseln!

38 2x = ? |