Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett

Präsentation zum Thema: "Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett"—  Präsentation transkript:

1 Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett
Warum Beschränkung auf 3 x 3? Dreiecke? Wie viele.....? Vierecke? Längen? Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke Richtungen? 16 Klassen kongruenter Vierecke Winkel? 5 Klassen gleich langer Strecken Wie viele „Flächeninhalte“ 10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkel s. Beiträge 1977 Horst Steibl, TU-Braunschweig

2 Die 8 Dreiecke gleichschenklig Bruchteile ½ , ¼ , 1/8 , 3/8
rechtwinklig Flächeninhalt Wie viele stumpfwinklig Umfang Horst Steibl, TU-Braunschweig

3 Die Längen auf dem Geobrett
Länge: Klasse gleich langer Strecken 5 cm cm Ö(25+25)  Ö 200  Ö 125 11 12 6 8 2 8 36 Strecken Horst Steibl, TU-Braunschweig

4 Codierung der Dreiecke durch Angabe der Seitenlängen
(10, 10, 14) (10, 11, 11) (5, 11, 14) (7, 11, 11) (5, 10, 11) (7, 7, 10) (5, 7, 11) (5, 5, 7) Flächeninhalt??? 1/8 3/8 Horst Steibl, TU-Braunschweig

5 Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel
Tim und Tom die Winkel-Wichtel Die Winkel als Linearkombination der beiden kleinsten Winkel Horst Steibl, TU-Braunschweig

6 Die 16 Vierecke Und das 16. ? Horst Steibl, TU-Braunschweig

7 Rauten aus den 11-er-Linien
1/5 1/4 1/3 Horst Steibl, TU-Braunschweig

8 Wie viele...? Anzahlprobleme
Finde alle......! Wie finden wir alle diese Möglichkeiten? Können wir sicher sein, dass es nicht mehr als 16 Vierecke gibt? Müssen wir uns mit dem „trial and error“Verfahren begnügen? Gibt es einen mathematischeren Zugang zu diesen Anzahlproblemen? „blindes“ Suchen die „denkende“ Hand Anleitung zu systematischen Suchen Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten, nächste Strecke Horst Steibl, TU-Braunschweig

9 Das Urnenmodell Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern 1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5) Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8 So ist damit dieses (7, 11, 11)-Dreieck bestimmt Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck Natürlich nicht jedes Horst Steibl, TU-Braunschweig

10 Gewinnspiel Dreiecke , zwei Spieler
Spielregel : Einsatz: ein Würfelchen. Jeder Spieler zieht (nacheinander) 3 Spielsteine und spannt sein Dreieck. Gewonnen hat der, dessen Dreieck den größeren Flächen-inhalt hat. Bei gleichem Inhalt gewinnt der kleinere Umfang Die 10-Strecke ist eine Niete, die 14-Strecke ein Hauptgewinn. 2 Geobretter, Beutel mit 9 beschrifteten Steinen, jeder Spieler 5Würfelchen (Einsatz) 7 2 9 7 8 3 Benennen der Bruchteile! Dokumentiere die Spieldauer!!!!! Horst Steibl, TU-Braunschweig

11 Gewinnspiel „vier Nägel“
Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der Vierecke weiter unten steht. Bei gleicher Höhe neues Spiel Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften? Die meisten Symmetrieeigenschaften? Wer kennt die meisten Bezeichnungen? Horst Steibl, TU-Braunschweig

12 Analyse des Urnenmodells
Umgangserfahrung mit der Urne Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Wie viele Möglichkeiten gibt es, unter den 9 Steinen 3 auszuwählen ( 9 3 ) 9 über 3 Binomialkoeffizient Binom: (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (a + b) 9 = 1a9 + 9 a8b + 36 a7b² + 84 a6b³ a5b4 .... Horst Steibl, TU-Braunschweig

13 mögliche Strecken 5 cm cm Ö(25+25)  Ö 200  Ö 125 11 12 6 8 2 = Wir haben wirklich alle möglichen Strecken Horst Steibl, TU-Braunschweig

14 ) ) ( ( = Dreiecke ? 9 3 Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten
Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten Und für den 3. Noch 7 Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die jeweils 3 Nägel beschreiben. 3 * 2 * 1 = 6 Tripel beschreiben die gleiche Figur Das Dreieck kann aber durch verschiedene Tripel beschrieben werden mögliche Figuren aus 3 Nägeln ( 9 3 ) = Horst Steibl, TU-Braunschweig

15 Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke
( 9 3 ) Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke 123 beschreibt eine 10-er-Strecke: es gibt 6 solche 10-er-Strecken 159 beschreibt eine 14-er-Strecke: es gibt 2 solche 14-er-Strecken Das (10, 10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten 84 Figuren aus 3 Nägeln? 4 4 16 8 4 6 + 2 = 8 Strecken 8 16 16 = 76 Dreiecke = 84 Figuren! Horst Steibl, TU-Braunschweig

16 Figuren aus 4 Nägeln? Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können kollinear liegen. = 40 Fälle Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel, d.h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle. Horst Steibl, TU-Braunschweig

17 94 Fälle + 48 Dreiecke = 142 Fälle?!? Fälle zu viel 2579 2459 weiter Horst Steibl, TU-Braunschweig

18 Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren
Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht eindeutig zu bestimmen Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren Das Quadrupel bestimmt diese drei Figuren Horst Steibl, TU-Braunschweig

19 Zwei Fehlermöglichkeiten
Nicht jede Figur wird eindeutig durch nur ein Quadrupel beschrieben: 3679 3579 Nicht jedes Quadrupel beschreibt eindeutig ein Figur 1568 Horst Steibl, TU-Braunschweig

20 Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt)
Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern. Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man zurückziehen? Spielverlauf dokumentieren! Horst Steibl, TU-Braunschweig

21 Wahrscheinlichkeiten X/126
4 28/126 17/126 24/126 37/126 =142 60/126 48/126 MU 1/1984 Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln = 126 Horst Steibl, TU-Braunschweig